В прямоугольном треугольнике ABC, изображенном на рисунке, угол A в два раза меньше угла B, а гипотенуза AB равна 18. Найди катет BC. 1. Углы A и B - острые угло прямоугольного треугольника ABC, поэтому угол A + угол B =
2. По условию угол B = 2 * угол A, поэтому угол A + 2 * угол A = , откуда угол A =
3. Так как в прямоугольном треугольнике ABC угол A = , то катет BC, лежащий против этого угла, равен п гипотенузы AB, т.е BC = см
ответ: BC = см

CK||MS, DK||NS CD||MN
CK=20
DK=25
CD=15        
CD-MN=5 => 15-MN=5 => MN=10

Два трикутники подібні, якщо:

— їхні сторони відповідно пропорційні;

— кути двох трикутників відповідно рівні;

— дві сторони одного відповідно пропорційні двом сторонам іншого, кути між ними рівні

Оскільки в умові вказано  про подібність  трикутника. то  за пешою умовою подібності якщо:CK||MS, DK||NS CD||MN

CK=20
DK=25
CD=15        
CD-MN=5 => 15-MN=5 => MN=10 то CK||MS, DK||NS CD||MN => MS=15, NS=20
(*ВЕЛИЧИНА СІХ ОДИНИЦЬ ПОДАЄТЬСЯ В см.)

Пусть прямая ОK пересекает окружность в точках M и N, а прямая  AK - в точке D (см. рис.)
1)Т.к. AL - биссектриса, то прямая АL пересекает окружность в N.
2)Т.к. ∠BAC=120°, то BC - серединный перпендикуляр к MO.
Теперь докажем, что MF=MO.
3) ∠DMK=∠LAK как вписанные в окружность О.
4) ∠LAK=∠LMK т.к. ∠MKL=∠MAL=90°, и значит 4-угольник KMAL - вписанный.
5) ∠LMK=∠LOK т.к. BC - серединный перпендикуляр к OM.
6) Итак ∠DMK=∠LOK, т.е. ΔDMK=ΔFOK по стороне и двум углам. Значит DMFO - параллелограмм и MF=DO=MO как радиусы. Таким образом, точки F, B, С лежат на окружности с центром M и радиусом ОM (т.к. BM=MC=MO). Значит ∠BFC=∠BMC/2=60°.