Задача 1. Построить треугольник по стороне b, прилежащему углу а и биссектрисе La

Обозначим диагонали ромба 5х и 2х. Диагональ параллелепипеда D1 = 17, образует с диагональю ромба 5х и высотой параллелепипеда Н прямоугольный тр-к с гипотенузой, равной D1. Тогда по теореме Пифагора:

Н² = D1² - (5x)²    (1)

Аналогично для диагонали параллелепипеда D2 = 10:

Н² = D2² - (2x)²    (2)

Приравняем правые части уравнений

D1² - (5x)² = D2² - (2x)²

17² - 25х² = 10² - 4х²

21х² = 289 - 100

21х² = 189

х² = 9

х = 3

Тогда диагонали ромбв:

5х = 15

2х = 6

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей

Sосн = 0,5·15·6 = 45.

Найдём высоту параллелепипеда Н из уравнения (1)

Н² = D1² - (5x)² = 17² - 15² = 289 - 225 = 64

Н = 8

Объём параллелепипеда:

V = Sосн ·Н = 45·8 = 360.

Серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Объяснение:

В - точка касания окружностей с прямой а, значит радиусы О₁В, О₂В, О₃В и О₄В перпендикулярны прямой а, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Через точку В можно провести единственный перпендикуляр к прямой а, значит центры всех окружностей лежат на одной прямой.

Пусть прямая m - серединный перпендикуляр  к отрезку АВ. Тогда m║О₁В как два перпендикуляра, проведенные к одной прямой.

По теореме Фалеса параллельные прямые отсекают на сторонах угла равные отрезки. Если точка М - середина АВ, то прямая m проходит через середины отрезков АО₁, АО₂, АО₃ и АО₄.

Значит, геометрическое место середин отрезков, соединяющих точку А с центрами окружностей, - это серединный перпендикуляр к отрезку АВ.