Контрольная работа по теме: «Координаты и векторы в пространстве»

1. ABCDA1B1C1D1 – куб. Изобразите на рисунке векторы, равные:
а) AC1+DA1+B1B+BA
б) BA1-B1C1

2. Даны векторы
а(-1;2;3) и b(5;х;-1). При каких значениях х векторы а и b перпендикулярны?
3. Даны векторы
а(3;-5;2) и b(0;7;-1). Найдите координаты вектора 2а-3b.
4. Даны координаты точек
А(1;-1;-4), В(-3;-1;0, С(-1;2;5), D(2;-3;1). Найдите косинус угла между векторами AB u CD.
5. Найдите периметр треугольника с вершинами
А (3;-7;4), В(5;-3;2),
С(1;3;-10).
6. Напишите уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка АВ перпендикулярно к нему , если А (3,-4,7) и В (1,0,-1).

Хорошо, давайте решим каждую задачу по очереди:

1. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Нам нужно изобразить на рисунке векторы, равные:
а) AC1 + DA1 + B1B + BA
б) BA1 - B1C1

Для изображения вектора AC1 + DA1 + B1B + BA нужно начать из точки A и двигаться в направлении точки C1, затем от новой точки двигаться в направлении точки D1, от этой точки двигаться в направлении точки B1 и, наконец, от последней точки двигаться в направлении точки A. Таким образом, вектор AC1 + DA1 + B1B + BA соответствует замкнутой фигуре, проходящей через все вершины куба.

Для изображения вектора BA1 - B1C1 нужно начать из точки B, двигаться в направлении точки A1 и, затем, от полученной точки двигаться в направлении точки B1. Таким образом, вектор BA1 - B1C1 соответствует вектору, идущему от точки B в точку C1.

2. Даны векторы а(-1;2;3) и b(5;х;-1). Мы должны найти значения х, при которых векторы а и b будут перпендикулярны. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Имеем следующее уравнение:
-1 * 5 + 2 * х + 3 * (-1) = 0
-5 + 2х - 3 = 0
2х = 8
х = 4

Таким образом, векторы а и b перпендикулярны при х = 4.

3. Даны векторы а(3;-5;2) и b(0;7;-1). Мы должны найти координаты вектора 2а - 3b. Для этого нужно умножить каждую координату вектора а на 2 и вычесть из нее каждую координату вектора b, умноженную на 3. Получаем следующие значения:
2 * 3 - 3 * 0 = 6
2 * -5 - 3 * 7 = -10 - 21 = -31
2 * 2 - 3 * (-1) = 4 + 3 = 7

Таким образом, координаты вектора 2а - 3b равны (6;-31;7).

4. Даны координаты точек А(1;-1;-4), В(-3;-1;0), С(-1;2;5), D(2;-3;1). Нам нужно найти косинус угла между векторами AB и CD. Для этого используем формулу для нахождения косинуса угла между векторами, которая выглядит так:
cos(θ) = (AB * CD) / (|AB| * |CD|),
где AB и CD - векторы, а |AB| и |CD| - их длины.

Рассчитаем каждое значение:
AB = (1 - (-3); -1 - (-1); -4 - 0) = (4; 0; -4)
CD = (-1 - 2; 2 - (-3); 5 - 1) = (-3; 5; 4)
|AB| = √(4^2 + 0^2 + (-4)^2) = √32 = 4√2
|CD| = √((-3)^2 + 5^2 + 4^2) = √66

Вставим значения в формулу:
cos(θ) = ((4; 0; -4) * (-3; 5; 4)) / (4√2 * √66)
cos(θ) = (4*(-3) + 0*5 + (-4)*4) / (4√2 * √66)
cos(θ) = (-12 - 16) / (4√2 * √66)
cos(θ) = -28 / (4√2 * √66)
cos(θ) = -7 / (√2 * √66)

Таким образом, косинус угла между векторами AB и CD равен -7 / (√2 * √66).

5. Найдите периметр треугольника с вершинами А(3;-7;4), В(5;-3;2), С(1;3;-10). Для этого нужно найти длины всех трех сторон треугольника и сложить их.

Рассчитаем длины сторон. Вычислите:
AB = √((5-3)^2 + (-3+7)^2 + (2-4)^2) = √8 + 16 + 4 = √28
BC = √((1-5)^2 + (3+3)^2 + (-10-2)^2) = √16 + 36 + 144 = √196 = 14
CA = √((3-1)^2 + (-7-3)^2 + (4+10)^2) = √4 + 100 + 196 = √300 = 10√3

Теперь сложим полученные значения:
Периметр = AB + BC + CA = √28 + 14 + 10√3.

Таким образом, периметр треугольника ABC составляет √28 + 14 + 10√3.

6. Мы должны написать уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной к этому отрезку. Чтобы найти уравнение плоскости, нам понадобятся точка, через которую проходит плоскость - середина отрезка АВ, и нормальный вектор плоскости.

Для начала найдем середину отрезка АВ. Используем формулу для нахождения середины отрезка:
xсеред = (хА + хВ) / 2,
yсеред = (уА + уВ) / 2,
zсеред = (zА + zВ) / 2.

Поэтому:
xсеред = (3 + 1) / 2 = 2,
yсеред = (-4 + 0) / 2 = -2,
zсеред = (7 + (-1)) / 2 = 3.

Значит, середина отрезка АВ имеет координаты (2; -2; 3).

Теперь нам нужен нормальный вектор плоскости. Так как плоскость должна быть перпендикулярна к отрезку АВ, мы можем использовать вектор, который направлен от точки А в точку В: AB = (хВ - хА; уВ - уА; zВ - zА) = (1 - 3; 0 - (-4); -1 - 7) = (-2; 4; -8).

Наша плоскость будет иметь вид Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D - это коэффициенты уравнения плоскости.

Чтобы найти значения A, B, C и D, подставим в уравнение плоскости координаты середины отрезка АВ и нормального вектора плоскости:
A * 2 + B * (-2) + C * 3 + D = 0.

Так как плоскость перпендикулярна вектору AB, мы знаем, что скалярное произведение нормального вектора и вектора AB равно нулю:
(-2; 4; -8) * (3 - 1; -2 - (-2); 3 - 7) = 0.
(-2; 4; -8) * (2; 0; -4) = 0.
-2 * 2 + 4 * 0 + (-8) * (-4) = 0.
-4 + 32 = 0.
28 = 0. (Найденное значение не равно нулю)

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной к нему, будет иметь вид -4x + 28y - 8z + D = 0. Значение D следует найти, подставив координаты середины отрезка АВ в это уравнение:
-4 * 2 + 28 * (-2) - 8 * 3 + D = 0.
-8 - 56 - 24 + D = 0.
-88 + D = 0.
D = 88.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной к нему, имеет вид -4x + 28y - 8z + 88 = 0.