1 вариант 1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если А(8, -9) и В(-6, 7) и длину отрезка.
2. Пусть А(4, -5) и В(-3, 8). Найдите координаты точки, которая делит отрезок АВ в отношении .
3. Проверьте, треугольник с вершинами в точках А(-2, 0), В(0, 4) и С(2, 0) является ли равнобедренным.
4. Докажите, что треугольник с координатами в точках А(1, 0), В(1, 4), С(3, 0) является прямоугольным. Какой угол прямой?
5. Даны три вершины параллелограмма АВСD с вершинами в точках В(5,0), С(12,3), D(7,3). Найдите координаты четвертой вершины А и точку пересечения диагоналей.
6. Написать уравнение прямой проходящих через точки А(2;5) и В(1; 1).

Для решения данной задачи, мы можем использовать свойства квадратов, перпендикуляров и треугольников.

Из условия задачи мы знаем, что DK=KC, то есть DK и KC равны друг другу. Также, нам дано, что MC=4 и угол МСО равен 60 градусов.

Для начала, найдём значение MC. У нас есть информация, что DK=KC, поэтому можем сказать, что треугольник DMC - равнобедренный. Это означает, что DM=MC=4.

Далее, обратимся к квадрату ABCD. Так как ABC - перпендикулярно DK и DM=MC=4, то мы можем сказать, что треугольник KAB - равносторонний (так как AB - сторона квадрата). Это значит, что KA=AB.

Теперь рассмотрим треугольник MKA. У нас есть стороны MK, KA и угол МКА (равный 90 градусов, так как KA - сторона квадрата). Мы можем использовать тригонометрическую функцию синус, чтобы найти значение МК.

Применим синус к углу МКА:

sin(МКА) = противолежащая/гипотенуза
sin(МКА) = MK/KA

Из равностороннего треугольника KAB мы знаем, что KA=AB. Заменим KA на AB:

sin(МКА) = MK/AB

Далее, мы можем использовать тригонометрическую функцию синус угла МКО, так как у нас уже есть значение противолежащей стороны и гипотенузы:

sin(МКО) = противолежащая/гипотенуза
sin(МКО) = MC/MO

Так как MC=4 и угол МСО равен 60 градусов, мы можем найти MO. Используем тригонометрическую функцию синус:

sin(60) = 4/MO

Подставляем известные значения для sin(60) (который равен √3/2) и MC:

√3/2 = 4/MO

Мы хотим найти значение МК, поэтому решим это уравнение.

Сначала умножим обе стороны на MO:

√3/2 * MO = 4

Затем, умножим обе стороны на 2/√3, чтобы избавиться от знаменателя:

MO = 4 * 2/√3
MO = 8/√3

Теперь вернёмся к треугольнику MKA и подставим найденное значение MO:

sin(МКА) = MK/AB

sin(МКА) = MK/KA

Используем sin(МКА), чтобы найти значение МК:

sin(МКА) = MK/KA
MK/KA = sin(МКА)

Мы знаем, что sin(МКА) равен sin(МКО), так как они являются соответствующими углами. Заменим sin(МКА) на sin(МКО):

MK/KA = sin(МКО)

Используем sine(МКО), чтобы найти значение МК:

MK/KA = √3/2

Теперь мы можем найти значение МК, умножив обе стороны на KA:

MK = (√3/2) * KA

Из равностороннего треугольника KAB мы знаем, что KA=AB. Заменим KA на AB:

MK = (√3/2) * AB

Изначально нам дано, что ABC является перпендикуляром DK и DK=KC. Так как ABC - это сторона квадрата, то AB=KC. Заменим AB на KC:

MK = (√3/2) * KC

Таким образом, мы получили значение МК, равное (√3/2) * KC. Это является окончательным ответом на данный вопрос.

Давай разберем каждое утверждение по порядку и проверим его истинность.

Утверждение 1: Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна половине боковой стороны.
Для проверки этого утверждения, нам нужно рассмотреть равнобедренный треугольник, у которого одна из боковых сторон равна другой боковой стороне, а средняя линия проведена параллельно основанию. На рисунке ниже мы видим такой треугольник ABC, где AD - средняя линия, и AB и AC - боковые стороны:

A
/ \
/ \
/____\
B C

Теперь, чтобы проверить утверждение, мы должны убедиться, что средняя линия AD действительно равна половине боковой стороны BC.

Для этого, нам нужно сравнить длины этих отрезков. Предположим, что BC = x, тогда BD и CD будут также равны x (поскольку треугольник ABC равнобедренный). Значит, средняя линия AD будет равна половине от суммы длин BD и CD.

AD = (BD + CD) / 2

AD = (x + x) / 2

AD = (2x) / 2

AD = x

Таким образом, мы видим, что средняя линия AD действительно равна половине боковой стороны BC. Поэтому утверждение 1 является истинным.

Утверждение 2: Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон этого треугольника.
Для проверки этого утверждения, нам нужно рассмотреть произвольный треугольник ABC и провести его среднюю линию DE:

A
/ \
/ \
/______\
B C
/ \ /
/ \ /
/_____\ /
D E

Теперь, чтобы проверить утверждение, мы должны убедиться, что средняя линия DE действительно параллельна одной из сторон AB, BC или AC.

Для этого, нам нужно рассмотреть соответствующие углы треугольника. Если мы рассмотрим угол A, то линия DE не будет параллельна стороне AC, потому что угол DEA и угол B равны (поскольку DE - средняя линия), а угол A и угол C разные. То же самое происходит и с углами B и C.

Таким образом, средняя линия треугольника не параллельна ни одной из его сторон. Поэтому утверждение 2 является ложным.

Утверждение 3: Если диагонали трапеции перпендикулярны, то средняя линия трапеции равна боковой стороне этой трапеции.
Для проверки этого утверждения, нам нужно рассмотреть трапецию ABCD с перпендикулярными диагоналями AC и BD, а также среднюю линию EF:

A _______ B
| \ /
| \ /
|___\/
E F
/ \
/__________\
D C

Теперь, чтобы проверить утверждение, мы должны убедиться, что средняя линия EF действительно равна боковой стороне AB.

Для этого, нам нужно рассмотреть соответствующие отрезки и углы. Заметим, что EF - средняя линия, и середина AD отмечена точкой E, а середина BC отмечена точкой F. Значит, EB = FA. Вспомним также, что диагонали AC и BD перпендикулярны. Тогда у нас имеется пара прямоугольных треугольников: ABD и AEC. В этих треугольниках у нас имеется две параллельные стороны AE и EC и один угол A который равен углу D. Так как треугольники прямоугольные, у них еще одна пара углов будет равна. Значит, по свойству прямоугольных треугольников углы EAC и EBC также равны.

Таким образом, у нас есть два равных угла и сторона EB, которая равна стороне FA, соединяющая две середины оснований. Следовательно, утверждение 3 является истинным.

Утверждение 4: Если средняя линия трапеции равна отрезку, соединяющему середины оснований этой трапеции, то диагонали этой трапеции перпендикулярны.
Для проверки этого утверждения, нам нужно рассмотреть трапецию ABCD с средней линией EF, которая равна отрезку, соединяющему середины оснований AD и BC:

A _______ B
| |
| |
| |
E _______ F
/ \
/___________\
D C

Теперь, чтобы проверить утверждение, мы должны убедиться, что диагонали AC и BD действительно перпендикулярны.

Для этого, нам нужно рассмотреть соответствующие углы. Заметим, что EF - средняя линия, и середина AD отмечена точкой E, а середина BC отмечена точкой F. Также у нас имеется две прямые линии AE и CF, которые соединяют соответственные вершины треугольников AED и CFB. Из свойства параллелограммов, которое говорит о том, что диагонали параллелограмма делятся пополам, также известно, что AE = CF.

Теперь, предположим, что AC и BD не перпендикулярны. Тогда в треугольниках AED и CFB у нас должны быть две пары равных углов. Однако, мы уже видели, что AE = CF.

Таким образом, мы видим, что у нас уже имеется по крайней мере одна пара равных углов и равных сторон, что противоречит предположению о том, что AC и BD не перпендикулярны.

Следовательно, если средняя линия трапеции равна отрезку, соединяющему середины оснований, то диагонали этой трапеции перпендикулярны. Утверждение 4 является истинным.

Утверждение 5: Середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
Для проверки этого утверждения, нам нужно рассмотреть произвольный четырехугольник ABCD и его середины сторон E, F, G и H:

E _____ F
/ |
/ |
/ |
/______ /
H G
/ \

Теперь, чтобы проверить утверждение, мы должны убедиться, что эти середины образуют параллелограмм.

Для этого, нам нужно рассмотреть соответствующие отрезки и углы. Заметим, что EH и FG - это прямые линии, которые соединяют противоположные вершины четырехугольника. Также у нас имеется две пары параллельных сторон EH и FG, что следует из свойства серединных перпендикуляров. Наконец, у нас имеются две пары равных углов: углы EHC и FGB, а также углы EHG и FGC.

Таким образом, мы видим, что у нас уже имеется пара параллельных сторон и две пары равных углов, что является достаточными условиями для параллелограмма.

Следовательно, середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Утверждение 5 является истинным.

Итак, утверждения 1, 3, 4 и 5 являются истинными, а утверждение 2 ложно.