Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 45 см . Знайдіть довжини його сторін , якщо : 1) його бічна сторона вдвічі більша за основу .
2) його основа на 9 см більша за бічну сторону .

Пусть основание равно Х, тогда боковая сторона равна (Х-9).
В треугольнике, образованном высотой, проведенной к основанию, боковой стороной и половиной основания (данный нам треугольник равнобедренный) биссектриса угла при основании делит эту высоту в отношении 5:4, значит по свойству биссектрисы: "Биссектриса делит сторону, противолежащую углу в отношении сторон, образующих данный угол", имеем: (Х-9)/(Х/2)=5/4 или (9-Х)*2/Х=5/4. Тогда 8Х-72=5Х, отсюда Х=24. Итак, по Пифагору искомая высота равна
√[(Х-9)²-(X/2)²]=√(15²-12²)=9см.
ответ: высота, проведенная к основанию, равна 9см.

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC со стороной а. Проведём высоту BH. Известно, что высота равностороннего треугольника делит сторону, на которую она опущена, пополам. Тогда AH=CH=a/2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём гипотенуза AB равна a, а катет AH равен a/2. По теореме Пифагора найдём катет BH - BH=√a²-(a/2)²=√a²-a²/4=√3a²/4=√3a/2. 

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведённую к неё высоту. Таким образом, S=1/2*AC*BH=1/2*a*√3a/2=√3a²/4, что и требовалось доказать.

Другой решения: площадь треугольника равна 1/2*a*b*sinC, где sinC - синус угла между соседними сторонами a и b. Тогда S=1/2*a*a*sin60=1/2*a²*√3/2=√3a²/4.

Если a=2√2, то S=√3*(2√2)²/4=√3*8/4=2√3.