В равностороннем треугольнике АВС со стороной, равной √3, проведены три биссектрисы : AM, BH, CK. Найдите периметр треугольника ALH.
- - -
Дано :
ΔАВС - правильный (равносторонний).
АВ = √3.
АМ, ВН, СК - биссектрисы.
АМ ∩ ВН ∩ СК = L.
Найти :
Р(ΔALH) = ?
АВ = ВС = АС = √3 (по определению равностороннего треугольника).
В правильном треугольнике все его биссектрисы являются медианами и высотами.Соответственно, по определению медианы треугольника -
АН = НС = 
Рассмотрим ΔALH - прямоугольный (так как ∠AHL= 90° по определению высоты).
В равностороннем треугольнике все углы равны по 60°.То есть ∠А = 60°.
По определению биссектрисы треугольника -
∠ВАМ = ∠МАС = 60°/2 = 30°.
По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника -
Отсюда -
LH = 0,5*AL = 1*0,5 = 0,5.
Периметр - это сумма длин всех сторон.Отсюда -
Р(ΔALH) = LH + AL + AH = 
(ед).
Обозначим прямоугольник, как АВСД
Значит, мы уже знаем, что периметр прямоугольника равен 20 см, а одна его сторона 8
Следовательно, по свойству прямоугольника ВС = АД = 8, значит АВ=СД= 20 - 8 +8) = 4
АВ=СД=2 см
Теперь ищем площадь прямоугольника АВСД
Площадь АВСД = ВС * АВ = 8 * 2 = 16
Мы знаем, по условию, что площади прямоугольника и квадрата равны
Площадь квадрата находится очень просто, надо одну его сторону возвести в квадрат.
Обозначим квадрат, как НПРО, следовательно
площадь квадрата будет = НП в квадрате. Площадь нам уже известна, она равна 16, а единственное число, которое при возведение в квадрат даёт 16, это число 4
Значит, сторона НП = 4
У квадрата все стороны равны, следовательно, что бы найти периметр квадрата, нам нужно просто сложить все четыре стороны.
Периметр квадрата = 4 + 4+ 4+ 4 = 16
Периметр квадрата равен 16
ответ: 16
