Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює 8 см. і нахилене до площини основи під кутом 30°. Знайти висоту піраміди.

Осталось только выяснить, сосуд имеет форму конуса вершиной вверх или вершиной вниз.
V₀ = 1600 мл
1. Конус в классической ориентации - основание внизу, вершина вверху. 
Пустая часть конуса подобна полному конусу с линейным коэффициентом подобия k=1/2
Площади, например осевого сечения конусов или их полной поверхности будут при этом относиться как k²
Объёмы относятся как k³
Объём верхней пустой части сосуда составит
V₁ = V₀*k³ = 1600/8 = 200 мл
Объём жидкости, налитой до половины составит
V₂ = V₀-V₁ = 1600-200 = 1400 мл
2. Конус перевёрнут - основание вверху, вершина смотрит вниз
В этом случае заполнен только объём V₁ из пункта
V₁ =  200 мл

Сторона треугольника АВ = "а". Пусть точка О - точка пересечения биссектрис. Опустим перпендикуляр ОН на сторону АВ.  Пусть в прямоугольном треугольнике АОН катет АН = х. Тогда в прямоугольном треугольнике ВОН катет ВН = (а-х). Выразим радиус r вписанной окружности (общий катет треугольников) через второй катет и угол, прилежащий к этому катету. r = x*tg(A/2)  и r = (a-x)*tg(B/2). Приравняем оба выражения.

x*tg(A/2) = (a-x)*tg(B/2)  =>  x = a*tg(B/2)/(tg(A/2)+tg(B/2)).

Тогда  r = a*tg(B/2)*tg(A/2)/(tg(A/2)+tg(B/2)).

Найдем биссектрисы АО и ВО из треугольников АОН и ВОН:

АО = r/Sin(A/2)  = a*tg(A/2)*tg(B/2)/(Sin(A/2)(tg(A/2)+tg(B/2))).

BO = r/Sin(B/2) = a*tg(A/2)*tg(B/2)/(Sin(B/2)(tg(A/2)+tg(B/2))).