Из точки О построим перпендикуляры ОК, ОН, ОК к прямым АВ, ВС и АС.
Треугольники ОВК и ОВН прямоугольные и равны, так как гипотенуза ОВ у них общая, а угол ОВН = ОВК, так как ВО биссектриса, тогда ОК = ОН.
Аналогично треугольник ОСН = ОСМ, а тогда ОМ = ОН.
Следовательно ОК = ОН = ОК, а значит через точки К, Н, С можно провести окружность с центром в точке О.
Треугольники АКО и АМО прямоугольные, у которых ОК = ОМ как радиусы окружности, АО общая гипотенуза, тогда треугольники равна по катету и гипотенузе. Следовательно, угол КАО = МАО, а АО биссектриса угла ВКМ и ВАС, что и требовалось доказать.
ВD - диагональ ромба, является его биссектрисой и делит его углы В и D пополам. ∠АDB=∠ABD
В ∆ АВD биссектриса ВО делит угол АВD пополам.
∠АВО=∠ОВD
Примем угол ОВD=х, тогда угол ОDB=2х
Сумма углов треугольника 180°
В ∆ DOB
∠DOB+∠OBD+∠ODВ=153°+х+2х=153°+3х
153°+3х=180°
3х=27°
х=9°
Угол ВОD внешний для ∆ AOB и равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. ⇒
∠А+∠АВО=153°
∠А+9°=153°
∠А=153°-9°=144°
Противоположные углы параллелограмма равны. Ромб - параллелограмм.
Угол С=144°
