Знайдіть координати вектора АВ, якщо А(1;-3;5), В(5;-1;3)

Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена высота.
Сторона параллелограмма дана ВС=19.
Необходимо найти высоту h.
Вообще-то она равна 14, т.е. удвоенное расстояние от точки К до стороны АВ.
Надо доказать,что расстояние от точки К до стороны ВС равно расстоянию от точки К до стороны АВ.
Соединим концы биссектрис углов А и В и обозначим буквами M и  N.
Полученная фигура ABNM - ромб. Доказывается равнобедренность треугольников ABN и AMN через равенство противолежащих углов.
Проведем перпендикуляры из точки К к сторонам ВС и AD. Они равны как высоты равных треугольников и равны расстоянию от точки К к стороне АВ, т. е. равны 7. Таким образом высота параллелограмма равна 14.
Площадь равна 14*19

17.9.  Дано: точки A(1; 2 ; -2) , B(1; -1 ; 2) , C(2; 1 ; 0) и D(14; 1 ; 5).

Определить косинус угля φ между векторами AB и CD .

Решение : По определению

скалярное произведение двух векторов AB и CD ) :

AB*CD  = |AB|*|CD| *cosφ         * * * φ =AB^ CD * * *

cosφ = AB*CD / |AB|*|CD|

AB = ( 0 ; -3 ; 4 )          * * * ( 1 -1 ; -1 -2 ; 2 -(-2) * * *

CD = (12 ; 0 ; 5)

Но (по теореме)   AB*CD =  x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

AB*CD = 0*12 +(-3)*0 + 4*5 = 20

|AB| =√( 0² +(-3)² +4²) =√25 = 5 ;

|CD| = √( 12² +0² +5²) = √169 = 13 .

cosφ = 20/(5*13) =  4/13