в окружности с центром O, диаметр ек проходит через середину хорды AB. найдите все внутренние углы, если EAD на больше DEA.​

Точка К, из которой будет виден отрезок МN под наибольшим углом, будет находиться на общей окружности с точками М и N. При этом OK для неё является касательной.
По свойству касательной и секущей ОК²=ОМ·ОN.
Пусть ОМ=х, тогда ОN=OM+MN=x+6,
4²=x(х+6),
х²+6х-4=0,
х1=-8, отрицательное значение не подходит,
х2=2.
ON=2+6=8 дм - это ответ.

Теперь докажем, что отрезок  MN виден из точки К под большим углом.
Пусть радиус окружности около тр-ка КMN равен r.
На стороне ОК в любом месте возьмём точку Р и опишем окружность около тр-ка РMN, радиусом R. ОР для неё является секущей, а для окружности, радиусом r - касательной, значит R>r.
Формула хорды: l=2R·sin(x/2), где х - градусная мера хорды.
∠MKN=α, ∠MPN=β.
Обратим внимание, что углы α и β - это половина градусной меры хорды.
MN=2R·sinβ ⇒ sinβ=MN/2R.
MN=2r·sinα ⇒ sinα=MN/2r.
Сравним синусы, предположив, что они равны.
MN/2R=MN/2r.
1/R=1/r, но R>r, значит 1/R<1/r, значит sinβ<sinα.
Так как градусная мера хорды не может быть больше 180°, значит в формуле хорды 0°<α<90°, 0°<β<90°.
В этом диапазоне синус угла тем больше, чем больше его градусная мера,
значит α>β.
Доказано.

4)36

Объяснение:

4) Пусть H и P - точки касания сторон ML и MK

Тогда по свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, LT = LH, KT = KP, MH = MP

ML +  LK = MH + HL + LT + KT

MK = MP + PK = MH + KT ( KT = KP, MH = MP )

Если провести радиус OH, то OH⊥ML, также OT⊥ LK

∠MLK = 90°, ∠LHO = 90°, ∠OTL = 90°, поэтому LHOT - прямоугольник

Поскольку OT = OH (радиусы), то LHOT - квадрат, и HL = LT = OT = 3

Значит, MK =  MH + KT = ML +  LK  - HL - LT = 21 - 3 - 3 = 15

P(ΔMLK) = ML + LK + MK = 21 + 15 = 36

3) BN = BK, AM = AK, CN = CM(свойство отрезков касательных)

Обозначим CN = CM = х

По теореме Пифагора AC^2 + BC^2 = AB^2

AC = CM + AM = CM + AK = x + 18

BC = CN + BN = CN + BK = x + 12

AB = BK + AK = 12 + 18 = 30

(x + 18)^2 + (x + 12)^2 = 30^2

x^2 + 36x + 324 + x^2 + 24x + 144 = 900

2x^2 + 60x - 432 = 0

x^2 + 30x - 216 = 0

(x + 36)(x - 6) = 0

x = 6 (x = - 36 <0 - не подходит)

AC  = x + 18 = 6 + 18  = 24

BC =  x + 12 = 6 + 12 = 18

P(ΔABC) = AB + BC + AC = 30 + 18 + 24 = 72

2) A, B, C - точки касания сторон KR, LR, KL

OA⊥KR, OB⊥LR(касательная ⊥ радиусу), ∠KRL прямой, поэтому RAOB - прямоугольник

OA = OB (радиусы), тогда RAOB - квадрат и RA = RB = AO = 8

AK = AC, RA = RB, LB = LC(отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки)

RK = RA + AK

RL = RB + BL

P(ΔRKL) = RK + RL + KL = RA + AK + RB + BL + KL = AR + RB + KL + CK + LC = AR + BR + KL + KL = AR + BR + 2KL = 8 + 8 + 2*35 = 86