Точку на катете прямоугольного треугольника соединили отрезком с его противоположной вершиной. Докажите, что длина полученного отрезка не больше гипотенузы треугольника​

Проекции точек D и С на плоскость а - это перпендикуляры DD1 и СС1, опущенные из точек D и С на плоскость а. Соединив точки А, В, С1 и D1 получим проекцию нашего ромба АВСD  на плоскость а. Это будет параллелограмм АВС1D1 с противоположными сторонами АВ, С1D1 и ВС1, АD1 . В прямоугольном треугольнике АНD DH=AD*Sinф. Если Sinф=√5/4, то DН=9*√5/4. 
Угол между плоскостями - это линейный угол, образованный сечением этих плоскостей плоскостью, перпендикулярной к их линии пересечения. 
В нашем случае это угол DHD1, где DH и  HD1 - перпендикуляры к АВ. В прямоугольном треугольнике DHD1 с прямым углом D1 катет HD1 равен HD1=HD*Cosβ. Cosβ=√(1-sin²β)=√(1-1/16)=√15/4. Тогда HD1=((9*√5)/4)*(√15/4)=45√3/16. Площадь параллелограмма равна S=a*h, где а - сторона параллелограмма, а h - высота, опущенная на эту сторону. В нашем случае а=9, h=45√3/16.  
S=9*45√3/16=405√3/16 

Подробно.

Площадь основания a^2; диагональ основания a*корень(2). Это - основание треугольника, который - диагональное сечение. Треугольник этот равнобедренный (боковые стороны - ребра пирамиды). Высота этого треугольника, проведенная к основанию - это высота пирамиды. Обозначим ее Н.

Получаем а^2 = Н*a*корень(2)/2; получается, что Н тоже равно a*корень(2).

Теперь надо найти апофемы боковых граней. 

Выберем какую-то сторону основания и проведем в боковой грани, её содержащей, апофему. Проекция этой апофемы перпендикулярна этой стороне, потому что лежит в плоскости, которая перпендикулярна этой стороне - а именно, плоскости, в которой лежат апофема и высота пирамиды (каждая из этих прямых перпендикулярна этой стороне). Следовательно, апофема является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, образованной высотой пирамиды и отрезком, выходящим из центра квадрата в основании и препендикулярным стороне. Такой отрезок, очевидно, равен а/2. Легко сосчитать, что апофема m равна

m = a*корень(2 + 1/4) = a*корень(9/4) = а*3/2. 

Площадь боковой грани составит m*a/2 = a^2*3/4, всего боковых граней 4.

ответ. Боковая поверхность равна 3*a^2