Вершины вписанного квадрата лежат на сторонах правильного треугольника.
Сделаем рисунок и используем его при решении.
Обозначим сторону данного правильного треугольника а
Н - середина КМ и и середина АD
АН=HD
АК=MD
Пусть сторона AD квадрата АВСD равна х
Тогда АD=х,
а DМ =(а-х):2,
DМ противолежит углу 30°, поэтому
СМ=2DМ=2(а-х):2= а-х
Найдем сторону а треугольника, в который вписан квадрат, из его площади, равной по условию 9√3
Площадь равностороннего треугольника находят по формуле:
S=(а²√3):4
9√3=(а²√3):4
36√3=а²√3
а²=36
а=6
ДМ= (6-х):2
СМ=2 ДМ=(6-х)
СД=СМ·sin 60°=(6-х)·√3):2
СД=АД=х
2х=6√3-х√3
2х+х√3=6√3
х(2+√3)=6√3
х=6√3:(2+√3)
Периметр равен 4 СД
Р=4·6√3:(2+√3)=24 √3:(2+√3)
