хорошая задачка, побольше бы таких.
Пусть основание биссектрисы M, длина L, и пусть высота ha из А к стороне СВ (основание обозначим N), высота hb из В к стороне СА. (Внимание! - ha и hb - НЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ! это просто обозначения высот. Все произведения отмечены *)
Тогда АВ = АМ + МВ; АМ/МB = СА/СВ; МВ = АВ/(1+СА/СВ);
СА = 2*S/hb; CB = 2*S/ha; S - площадь треугольника АВС.
СА/СВ = ha/hb; МВ = АВ/(1 + ha/hb);
Осталось провести препендикуляр из точки М на сторону СВ, пусть его основание на СВ - Р. Из подобия прямоугольных треугольников PMB и ANB следует
МР/АN = MB/AB; MP = ha/(1+ha/hb) = ha*hb/(ha + hb);
sin(C/2) = MP/CM = (1/L)*ha*hb/(ha + hb);
Это - ответ, смысла его как-то преобразовывать нет.
Вот дела то, я не ту задачу решил:))) я зачем то считал, что СМ - РАДИУС.. и час решал, и решил :))) Решу теперь про диаметр.
Тем же
Пусть Е - точка пересечения АС и окружности (то есть середина АС). Соединим М и Е. Угол МЕС опирается на диаметр СМ, поэтому треугольник СМЕ прямоугольный . Но ЕM II CB, поэтому весь треугольник АВС прямоугольный. И раз медиана СМ = 5, то гипотенуза АВ = 10;
А площадь SABC = 24. Я сразу напишу ответ - катеты равны 6 и 8, а периметр 24.
Можно, конечно, сосчитать все "как положено", но это не обязательно. Тут явно присутствует Пифагорова тройка (6,8,10).
Примечание. "Как положено" лучше делать так
a^2 + b^2 = 10^2;
a*b = 2*24;
(a + b)^2 = 196;
(a - b)^2 = 4;
Ну, и дальше ответ. Я это для того пишу, что вопрос-то - найти периметр, то есть нам нужна сумма (a + b), которая находится РАНЬШЕ катетов :))
