Объяснение:
Дано: Хорды AB=CD пересекаются в точке О. Доказать: AO=CO, DO=BO.
Док-во: Соединим точки A B C D как на рисунке и рассмотрим треугольники ABD и CDB. Равные хорды стягивают равные дуги, значит вписанные углы ADB и CBD равны, а вписанные углы DAB и BCD опираются на одну и ту же дугу, значит они равны. Поскольку в треугольнике сумма углов равна 180°, то и оставшиеся углы ABD и CDB равны. Из равенства этих двух углов (<ABD=<CDB) следует, что △DOB - равнобедренный. => DO=BO. Поскольку AB=AO+BO и CD=DO+CO, а AB=CD, то и AO=CO, чтд.
Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 2√3, а периметр равен 3(1+ √3).
Дано: ∠C =90° , P =a+b+c = 3(1 + √3) ,где а и b _катеты , c = 2√3 (гипотенуза).
- - - - -
∠A - ? , ∠B - ?
" решение " : пусть ∠A = α ⇒ a =c*sinα , b =c*cosα
* * * очевидно: sinα > 0 ; cosα > 0 * * *
c*sinα + c*cosα + c = 3(1 + √3) || c =2√3 | ⇔
2√3 (sinα + cosα) +2√3 =3(1 + √3) ⇔2√3( sinα + cosα) = √3 + 3 ⇔
2√3(sinα + cosα ) =√3( 1 +√3) ⇔ sinα + cosα =(1 +√3 ) /2 ⇔
(sinα + cosα)² = ( (1 +√3 ) /2 )² ⇔sin²α + cos²α+2sinα*cosα = 1 +(√3 ) /2 ⇔
1 +sin2α = 1 +(√3) /2 ⇔ sin2α = (√3) /2 ⇒ 2α = 60° или 2α = 120°
α = 30° или α = 60°
∠A = α = 30° ; ∠B = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°
или α = 60°
∠A = α = 60° ; ∠B = 90° - ∠A = 90° - 60° = 30°
ответ : ∠A = 30° ; ∠B = 60° или наоборот ∠A = 60° ; ∠B = 30° .
