Начертим равные отрезки BD и AC. Пусть точка их пересечения - О.
По условию, О делит оба отрезка пополам. А так как BD=AC, то
BO=OC=OA=OD
Начертим так же стороны четырехугольника ABCD.
Надо доказать, что это прямоугольник. BD и AC - его диагонали, они же пересекающиеся прямые. Тогда пусть ∠BOA=α, ∠BOA=∠COD=α (вертикальные). ∠BOA и ∠BOC - смежные ⇒ ∠BOA + ∠BOC = 180° ⇒ ∠BOC=180°-∠BOA=180°-α
Отметим также, что ΔBOA=ΔCOD (по 2 сторонам BO=OD, CO=OA, и углу между ними ∠BOA=∠COD). Аналогично ΔBOC=ΔDOA (BO=OD, CO=OA, ∠BOC=∠DOA).
Из этого следует (второе доказанное равенство треугольников), что ∠OBC=∠ODA, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых BC и AD секущей BD, то есть BC║AD.
∠OBA=∠ODC (из первого доказанного равенства треугольников), а это накрест лежащие углы при пересечении прямых AB и CD секущей AC, то есть AB║CD.
Из равенств треугольников следует, что BC=AD (2-ое равенство), а AB=CD (1-ое равенство). В четырехугольнике ABCD противолежащие стороны равны и параллельны, то есть это параллелограмм. Осталось доказать, что хотя бы один угол в нем прямой (тогда найдется ещё один противополежащий равный ему угол, останутся два равных между собой угла, а так как их сумма 180° (сумма углов четырехугольника 360 и минус 2 угла по 90°), то они тоже будут по 90°).
Рассмотрим ∠ABC:
∠ABC=∠ABO+∠OBC;
из ΔOBA, который равнобедренный, углы при основании равны ∠ABO=∠BAO = (180°-α)/2=90°-α/2
из ΔOBC, который равнобедренный, углы при основании равны
∠OBC=∠OCB=(180°-(180°-α))/2=α/2
∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°-α/2+α/2=90°, то есть в параллелограмме ABCD все 4 угла прямые, значит, это прямоугольник. Что и требовалось доказать.
