Стороны прямоугольного треугольника равны 8 см, 15 см и 17 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника и радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

P₁ и p₂ - проекции боковых сторон на основание
h - высота трапеции
По теореме Пифагора для красного треугольника
p₁² + h² = 17²      (1)
По теореме Пифагора для малинового треугольника
p₂² + h² = 25²      (2)
и известна длина нижнего основания
p₁ + p₂ + 16 = 44
p₁ + p₂ = 28      (3) 
Три уравнения, три неизвестных
Из второго вычтем первое
p₂² - p₁² = 25² - 17²      (4)
Из третьего выразим p₂
p₂ = 28 - p₁
и подставим в четвёртое
(28 - p₁)² - p₁² = 25² - 17²
28² - 56p₁ +  p₁² - p₁² = (25 - 17)(25 + 17)
28² - 56p₁ = 8*42
сократим на 4
14² - 14p₁ = 2*42
14*14 - 14p₁ = 2*3*14
сократим на 14
14 - p₁ = 6
p₁ = 8
Подставим значение p₁ в первое уравнение
8² + h² = 17²      
64 + h² = 289
h² = 289 - 64
h² = 225
h = √225 = 15
И это ответ :)

Дано: плоскость α, К∉α,
           КВ = 15 см и КС = 17 см - наклонные
Найти: проекции наклонных на плоскость α.
Решение:
Пусть  КН - перпендикуляр к плоскости α..
Тогда ВН и СН - проекции наклонных на плоскость.
Из двух наклонных, проведенных из одной точки, большую проекцию имеет большая наклонная.
Пусть ВН = х, СН = х + 4

ΔКВН и ΔКСН прямоугольные. По теореме Пифагора выразим из них КН:
КН² = АВ² - ВН² = 225 - х²
КН² = АС² - СН² = 289 - (х + 4)²

225 - х² = 289 - (х + 4)²
225 - x² = 289 - x² - 8x - 16
8x = 48
x = 6

ВН = 6 см
СН = 10 см