Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна всем прямым, лежащим на этой плоскости.
Следовательно угол АОВ=угол АОС=90°, значит ∆АОВ и ∆АОС – прямоугольные.
ВО+АС=3 см по условию. Пусть ВО=х, тогда АС=3–х.
В прямоугольном ∆АОВ по теореме Пифагора:
АВ²=АО²+ВО²
(√3)²=АО²+х²
АО²=3–х² (Ур 1)
По теореме Пифагора в прямоугольном ∆АОС:
АС²=ОС²+АО²
(3–х)²=2²+АО²
АО²=9–6х+х²–4
АО²=х²–6х+5 (Ур 2)
Подставим значение АО² из уравнения 1 в уравнение 2, получим:
3–х²=х²–6х+5
2х²–6х+2=0
х²–3х+1=0
Д=(–3)²–4*1*1=9–4=5
Тогда ВО=1,5+√1,25 или ВО=1,5–√1,25
Катет прямоугольного треугольника всегда меньше гипотенузы, то есть ВО<АВ
1,5+√1,25<√3
1,5+1,118<1,732
2,618<1,732
Неверно
1,5–√1,25<√3
1,5–1,118<1,732
0,382<1,732
Верно, следовательно ВО=1,5–√1,25 см.
Тогда АС=3–(1,5–√1,25)=3–1,5+√1,25=1,5+√1,25
ответ: ВО=1,5–√1,25 см, АС=1,5+√1,25 см.
У этой задачки есть очень наглядное решение.
Можно взять три взаимно перпендикулярные координатные оси и разместить четыре вершины прирамиды в точках (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1). Легко убедиться, что любая из вершин, кроме (0,0,0), является вершиной трехгранного угла, заданного в задаче.
Сама пирамида при этом представляет собой правильную треугольную пирамиду, "боковые" грани которой - равнобедренные прямоугольние треугольники, а "основание" - правильный треугольник с вершинами в точках (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1).
Поэтому искомый угол равен 60 градусам.
Эту же мысль (трудно назвать это решением - уж больно просто:)) можно выразить без упоминания координатных осей. Дело в том, что упомянутая пирамида - это часть обыкновенного куба, отсекаемая плоскостью, проходящей через концы трех ребер, имеющих общую вершину.
Берется какая -то вершина куба АBCDA1B1C1D1, например, А, и проводится сечение через точки В, D и А1, у пирамиды А1BDA все трехгранные углы при вершинах "основания" A1BD соответствуют условию задачи. В самом деле, рассмотрим, например, вершину D. Треугольники ADB и ADA1 - равноберенные прямоугольние, поэтому углы АDB и ADA1 равны 45 градусов. Что же касается двугранного угла между плоскостями АDB и ADA1, то это - двугранный угол между гранями куба :), то есть он равен 90 градусам.
Поэтому трехгранный угол при вершине D пирамиды А1BDA удовлетворяет условию задачи. По условию задачи, нужно найти угол A1DB, но он очевидно равен 60 градусам, поскольку треугольник A1DB равносторонний.
