Площадь боковой поверхности данной пирамиды состоит из площади двух прямоугольных треугольников и площади третьей грани, длину ребер которой мы не знаем.
Найдем высоту СН основания пирамиды.
Гипотенуза египетского треугольника АВС основания пирамиды равна 5 ( можно проверить по т. Пифагора)
Выразим высоту из треугольников АСН и СВН
Пусть АН=х, тогда ВН=5-х
СН²=АС²-АН²
СН²=ВС²-(5-х)²
Приравняем оба выражения СН²
АС²-АН²=ВС²-(5-х)²
9-х²=16-25+10х-х²
10х=18
х=1,8
СН²=АС²-АН²=9-3,24=5,76
Найдем по т.Пифагора высоту треугольника ASB
SH²=SC²+CH²=25+5,76=30,76
SH=√30,76= ≈ 5,55
S ASB=5·5,55:2=13,875
S ASC=5·3:2=7,5
S BSC=5·4:2=10
Sбок=13,75+7,5+10=≈31,375
Для определения угла наклона боковой грани к плоскости основания надо из вершины пирамиды провести перпендикуляр к стороне основания.
Если разрезать пирамиду вертикальной плоскостью через высоту и боковое ребро, то в сечении будет треугольник, в основании которого будет высота правильного треугольника основания. Одна сторона - это боковое ребро с углом наклона 30 градусов, вторая сторона - это высота боковой грани. Высота этого треугольника будет высотой пирамиды и делит основание 2:1 (так как в равностороннем треугольнике высоты являются медианами).
Тогда высота h = 2 * tg 30 = 2 *(1/V3) = 2 / V3.
Искомый угол равен arc tg h / 1 = 2 / V3 = 0,8571 радиан = 49,107 градуса.
