Вершини трикутника АВС мають координати А(1;1), В(-3;5), С(-2;-3). Запишіть координати трикутника, у який переходить АВС при гомотетії з коефіцієнтом 3 і центром у початку координат.

Нужное сечение — треугольник AMB.

Рассмотрим треугольник ASC. Он равнобедренный, и угол SAC = углу SCA = 72°  Значит, угол МАС = 36° 

Рассмотрим теперь треугольник CAM. Сумма его углов 180°, значит, угол АМС = 72°. Следовательно, треугольник CAM равнобедренный, и поэтому AC=AM. Аналогично находим, что BM=BC.

Таким образом, треугольник AMB равносторонний, и его сторона AB одновременно является стороной основания. По условию составим уравнение  AB^2 (корень из 3) / 4 = 5 корень из 3откуда AB = корень из 20.

Допустим плоскости α и β параллельны, а прямая с пересекает плоскость α в точке А.

Предположим, что эта прямая не пересекается с плоскостью β. Возьмем в плоскости β точку В и проведем плоскость γ через прямую с и точку В. Плоскость γ пересекается с плоскостями α и β по параллельным прямым а и b (теорема 17.6). Но по предположению, прямая с параллельна плоскости β, а поэтому прямая с параллельна и прямой b (теорема, обратная теореме 17.3).

Получилось, что в плоскости γ через точку А к прямой b проведены две различные параллельные прямые а и с, что противоречит аксиоме. Значит предположение неверно и c пересекает β.