Даны точки A (– 1; 3), B (1; 5), C (3; 3), D (1; 1).
Если не известно, какая фигура заданный четырёхугольник, то проще его разделить на 2 треугольника: АВС и АСД. Найти их площади и сложить.
Вектор a (АВ) Вектор b (АС)
x y x y
2 2 4 0
4 4 16 0 Квадраты
8 16 Сумма квадратов
Модуль =√8=2√2 ≈ 2,8284 4
Скалярное произведение ABxAC = (2*4 + 2*0) = 8.
cos ВAС = 0,707106781
Угол ВAС = 0,7854 радиан
45 градусов.
Вектор e (АD)
x y
2 -2
4 4
8
2,828427125
Скалярное произведение AСxAD = 8
cos CAD= 0,707106781
Угол CAD = 0,7854 радиан
45 градусов.
S(ABCD) = (1/2)*(AB*AC*sinA+AC*AD*sinCAD)
S(ABCD) = 0,5 *(8+8) = 8.
Рассмотрим ∆ АВD и ∆ СВЕ
Оба прямоугольные и имеют общий острые угол АВС.
Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
Из подобия следует отношение
ВЕ:ВD=ВС:АВ⇒ВD•ВС=ВЕ•АВ ⇒
ВЕ:ВС=ВD:АВ
Две стороны ∆ ВЕD пропорциональны двум сторонам треугольника АВС, и угол между ними общий.
2-й признак подобия треугольников:
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Следовательно, ∆АВС и ∆ ВЕD подобны, что и требовалось доказать.
Можно добавить. что коэффициент подобия равен косинусу общего угла, т.к. отношение катетов ∆ СВЕ и ∆ АВД к их гипотенузам соответственно равны косинусу угла В треугольника АВС.
