Знайти площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 5√2см і 4 см.​

Sпов = 1/2 P L  (P - периметр основания L - апофема, перпендикуляр боковой стороны)
P = 4 * 3  = 12  (3 стороны по 4см)
ABC - основание  (AB = BC = CA = 4
О вершина
E основание высоты пирамиды OE = 6
D основание апофемы. OD = L

L найдем из треугольника OED.
E делит BD в отношении 1 к 2. Так как это равносторонний тре-к и E - пересечение перпендикуляров.

Из CBD, где  BC = a, DC = a/2  DB = √3/2 a
DE = DB/3 = √3/6 a = 8√3/6 = 4√3/3
Из треугольника ODE OD = L = √( DE² + OE²) = √ ( 16/3 + 36)

Sпов = 1/2 P L  = 1/2 · 12 √ ( 16/3 + 36) = 12√31

Якщо даний чотирикутник розділити діагоналлю (наприклад АС) на два трикутники, то якщо з"єднати попарно середини сторін (точки М і N,  та К і Р) отримаємо середні лінії трикутників, які паралельні третій стороні, тобто діагоналі, а отже паралельні між собою (МN || KP).
Якщо провести у чотирикутнику і іншу діагональ (ВД), то аналогічно отримаємо, що МК || NP.
Отже отримали чотирикутник МNPK у якому сторони попарно паралельні, як відомо такий чотирикутник - це паралелограм, а у паралелограма протилежні кути - рівні, що й треба було довести.