Точки A и B находятся в том же полупространстве, что и плоскость α, отрезки AK, BK не пересекают плоскость α. В каком полупространстве находится точка K?

Пусть дана пирамида SАВС, высота её SO, апофема SД, высота основания ВД.
ВД = a*cos30° = 6√2*(√3/2) = 3√6.
Точка О делит ВД в отношении 2:1 от В:
ВО = (2/3)*3√6 = 2√6.
ДО = (1/3)*3√6 = √6.
Проведём осевое сечение через ребро SВ.
В сечении имеем треугольник ДSВ, в нём 2 высоты: ДЕ к ребру SВ и SO  к ВД.
Рассмотрим подобные треугольники SOB и ДВЕ (у них по прямому и общему углу В).
Коэффициент пропорциональности деления точкой Е ребра SB примем к: SE = 3k. BE = 2k, SB = 5k.
Составим пропорцию: 2√6/5k = 2k/3√6,
10k² = 36,
k² = 3,6.
Теперь можно найти высоту (Н = SO) пирамиды:
Н = √(SB² - BO²) = √(25k² - 24) = √(25*3,6 - 24) = √(90 - 24) = √66.
Апофема А = SД = √(Н² + ДО²) = √(66 + 6) = √72 = 6√2.
Периметр Р основания равен:
Р = 3а = 3*6√2 = 18√2.
Площадь Sбок боковой поверхности пирамиды равна:
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*18√2*6√2 = 108 кв.ед.

Пусть имеем трапецию АВСД с прямыми углами А и В.
Из вершины С опустим перпендикуляр СЕ на АД.
ЕД = √(17² - 15²) = √(289 - 225) = √64 = 8 см.
Тогда ВС = АЕ = 18 - 8 = 10 см.
Получаем периметр Р = 10+18+15+17 = 30 см.
Для нахождения точки О пересечения диагоналей найдём их уравнения в прямоугольной системе координат. Ноль в точке А.
АС: у = (15/10)х = (3/2)х.
ВД: у = (-15/18)х + 15 = (-5/6)х + 15.
Приравняем: (3/2)х = (-5/6)х + 15.
(3х/2) + (5х/6) = 15.
Приведём к общему знаменателю:
9х + 5х = 80.
14х = 80
х = 80/14 = 40/7.
Находим расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее основания - это отрезок ОН = у = (3/2)*(40/7) = 60/7 = 8(4/7) см.