(МН·РН) = 4 ед.
(ОР·РК) = -2 ед.
Объяснение:
В прямоугольнике противоположные стороны равны =>
вектора МН = РК.
∠ РОК = 180° - 120° = 60° ( смежные углы).
В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам =>
Треугольник РОК равносторонний, так как
ОК=ОР и ∠ РОК = 60°). => ОР = ОК = РК = 2 ед.
ОН=ОР = 2 ед. РН = 4 ед.
Скалярное произведение векторов можно записать так:
a·b=|a|·|b|c·сosα.
Определение: "Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором".
Совместим начала векторов ОР и РК в точке О. Тогда угол между векторами ОР и ОК' (вектора ОК и ОК' равны) равен 120°.
Векторное произведение указанных в условии векторов:
(МН·РН) = (РК·РН) = 2·4·Cos60° = 4 ед.
(ОР·РК) = 2·2·Cos120° = -2 ед.
1)
Рассмотрим рисунок этой поделенной на 3 части трапеции.
Поведя из вершины у меньшего основания прямую, параллельную одной из боковых сторон, получили треугольник и параллелограмм.
Каждая из этих фигур разделена на 3 части.
В параллелограмме стороны равны, а части искомых отрезков равны меньшему основанию трапеции.
Треугольник же делится на подобные треугольники по свойству равенства углов при параллелльных прямых ( которые мы провели при разделении трапеции) и секущей, а угол при вершине этих треугольников - общий.
Так как боковая сторона разделена на 3 равные части, то отношение сторон этих треугольников 1:2:3
Основание большего треугольника (его боковая сторона=боковая сторона трапеции) равно разности оснований:
5 - 2=3
Т.к. боковая сторона трапеции разделена на 3 равные части, отношение сторон меньшего ( верхнего) треугольника и большего равно 1:3
Следовательно, его основание равно
⅓ ·3=1 см
Отношение второго по величине треугольника и большего равно
2:3, отсюда его основание равно
⅖·3=2 см
Так как длина каждого из проведенных параллелльных отрезков больше оснований треугольников на 2, то:
длина искомых отрезков равна:
1 см+2=3 см
2см+2=4см
--------------------------------
2)
Стороны треугольника MNP относятся к сторонам АВС как 1:3,т.к. каждая сторона Δ АВС разделена в отношении 1:2. И эта одна часть - сторона Δ MNP, стороне же АВС остаются её 3 части.
Треугольники АВС и MNP подобны, так как их сходственные стороны пропорциональны и коэффициент подобия этих треугольников
k=1/3
Площади подобных фигур относятся, как квадрат их коэффициента подобия, а в этой задаче в отношении (1/3)²=1/9.
Площадь Δ MNP=1/9 площади тр-ка АВС и равна 1/9 от S или S/9
----------------
3)
Площади подобных фигур относятся, как квадрат их коэффициента подобия. Т.к. площади квадратов относятся как 25:9, то коэффициент подобия ( отношение сторон квадратов) равен
k=√(25/9)=5/3
Пусть сторона меньшего квадрата равна х.
Тогда сторона большего равна х+10
(х+10):х=5:3
По свойству пропорции
3(х+10)=5х
3х+30=5х
2х=30
х=15
Сторона меньшего квадрата равна 15
Проверка:
Площадь большего квадрата
(15+10)²=625
площадь меньшего
15²=225
625:225=25:9
