Рия Самостоятельная работа №10 на тему: "Треугольник. Соотношение между углами и
сторонами"
Вариант І.
1. Задан треугольник DEF. Угол D меньше угла F на 40°, а угол E меньше угла DB
3 раза. Найдите все углы треугольника. Какая сторона больше DE или EF?
2. Задан прямоугольный треугольник XYZ, где YZ гипотенуза. Внешний угол при
вершине Z равен 120°, сторона XY равна 7 см. Чему равна длина гипотенузы?
3. В равнобедренном треугольнике KLM, на основании KM указана точка Р. От
этой точки проведены перпендикуляры к двум боковым сторонам, соответственно
PA и PB. Докажите, что эти отрезки РА и РВ равны друг другу.
Вариант ІІ.
залан треугольник KLM. Угол К меньше угла L в 2 раза, а угол м больше угла
L​

AB=CD - по свойству параллелограмма ABCD

AB=2*DE=CD ⇒ точка Е - середина CD

CE=ED=AD=DM=MG ⇒ CD=DG

четыр-ник ECFG - параллелограмм

CE || FG, так как ED || FG - по свойству параллелограмма EDGFCE=FG, так как ED=FG - по свойству параллелограмма EDGF

Значит, СF=EG - по свойству параллелограмма ECFG

ΔCDG - равнобедренный ⇒ CM=GE - медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника

Поэтому CF=CM

Продолжим прямую СM до пересечения с прямой FG в точке P

ΔCMD=ΔPMG - по стороне и двум прилежащим к ней углам

DM=MG - по условию∠CMD=∠PMG - как вертикальные углы∠CDG=∠PGD - как накрест лежащие углы при CD || PG и секущей DG

Значит, CM=MP, CD=PG

Рассмотрим ΔСPF:  CF=CM=MP,  PG=2*FG

FG/PG=1/2 и CF/CP=1/2

Известное свойство биссектрисы:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам

Это свойство работает и в обратную сторону.

Следовательно, CG - биссектриса угла MCF, ч.т.д.

Трапеция ABCD:  BC║AD;  BC = 12 см;  AD = 24 см
Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции  ⇒
AB = CD = 6√10  см
Провести две высоты BK⊥AD и CM⊥AD:
KM = BC = 12 см
AK = MD = (AD - KM)/2 = (24 - 12)/2 = 6 см

ΔCMD:  ∠CMD = 90°; MD = 6 см; CD = 6√10 см. Теорема Пифагора
CM² = CD² - MD² = (6√10)² - 6² = 360 - 36 = 324
CM = √324 = 18 см

ΔACM: ∠AMC = 90°;  CM = 18 см;  AM = 6+12 = 18 см  ⇒ 
CM = AM ⇒   ∠CAM = ∠ACM = 90°/2 = 45°

Окружность, которая описана около трапеции, описана и около ΔACD.
Теорема синусов:


ответ: радиус описанной окружности  равен 6√5 см