Перетином площини aed і afb зображених на рисунку є

У треугольников ABC и DEC стороны общего угла пропорциональны.
CE = CB*cos(C); CD = CA*cos(C); 
поэтому эти треугольники подобны, и AB = ED/cos(C);
Поскольку ∠HEC = ∠HDC = 90°; то окружность, построенная на CH, как на диаметре, пройдет через точки D и E.
Поэтому CH - диаметр окружности, описанной вокруг треугольника DEC, и по теореме синусов ED = CH*sin(C);
Отсюда sin(C) = 12/13; => cos(C) = 5/13;
AB = 60*13/5 = 156;

Можно получить такую "обратную теорему Пифагора"
(1/ED)^2 = (1/AB)^2 + (1/CH)^2; :)
это соотношение решает задачку в общем виде, если в условии не скрыта Пифагорова тройка (как тут - 5,12,13)

1 

Таким же образом, используя формулу  для площади треугольника, можно доказать и теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника.

Теорема (о биссектрисе внутреннего угла треугольника).

Если AA1 ¾  биссектриса угла A треугольника ABC, то

BA1 : A1 C = BA : AC.

Доказательство. Пусть угол при вершине A в треугольнике ABC равен 2a. Рассмотрим треугольники BAA1 и CAA1 (см. рис.). Их площади относятся как отрезки BA1 и A1C, поскольку высота к этим сторонам в рассматриваемых треугольниках общая.

 

 

2 

Свойства Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии. Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые (следует из их равенства). Признаки Два угла треугольника равны. Высота совпадает с медианой. Высота совпадает с биссектрисой. Биссектриса совпадает с медианой.

Пусть a — длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b — длина третьей стороны,  — соответствующие углы, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.