2. Дано зображення куба ABCDA, B, C, D Знайдіть кут між прямими AC i CB​

В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ через сторону АВ нижнего основания и середину ребра СС₁ проведено сечение , составляющие с плоскостью основания угол 30°. Найдите объем призмы, если боковое ребро равно 2b.

Объяснение:

V(призмы)= S(основания)*H,  высота  H -боковое ребро .

                    S(основания)=S(прав. треуг)= а²√3/4.

Пусть К-середина СС₁ , СК=2b:2=b .

Проведем  СМ⊥АВ , тогда КМ⊥АВ по т. о трех перпендикулярах ⇒∠КМС-линейный угол двугранного между плоскостью сечения и основанием.   ∠КМС=30°.

ΔКМС-прямоугольный , tg 30°=KC/CM  или 1/√3=b/СМ  , СМ=b√3 .

ΔСМВ-прямоугольный , sin60°=СМ/СВ  , √3/2=b√3/СВ , СВ=2b.

S(прав. треуг)= (2b)²√3/4=b²√3.

V(призмы)= b²√3*2b=2b³√3 ( ед³)

Раз уж первую задачу решили правильно, её расписывать не буду.
2) В прямоугольном треугольнике катет равен среднему пропорциональному гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Другими словами, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию катета.
АВ²=АН·АС=10·40=400,
АВ=20 - это ответ.

3) Точка, равноудалённая от сторон треугольника является центром вписанной в него окружности. Он, в свою очередь, лежит на пересечении биссектрис треугольника, значит АО - биссектриса угла АВС. ∠АВС=2∠АВО=2·39=78°.
В тр-ке АОС ∠ОАС+∠ОСА=(∠ВАС+∠ВСА)/2=(180-∠АВС)/2=(180-78)/2=51°.
∠АОС=180-(∠ОАС+∠ОСА)=180-51=129° - это ответ.

PS. Так как точка О не является центром описанной вокруг треугольника окружности, нельзя говорить о том, что угол АВС вписанный и, тем более, что угол АОС центральный и что он равен двум вписанным.