В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство:
Пусть в ΔАВС АВ > ВС. Докажем, что ∠С > ∠А.
Отложим на стороне АВ отрезок ВК = ВС. Так как АВ > ВС, то точка К будет лежать между точками А и В, тогда угол 1 будет частью угла С:
∠1 < ∠С.
∠2 - внешний для ΔАСК, а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Тогда ∠2 = ∠А + ∠АСК, т.е.
∠2 > ∠А.
И еще ∠1 = ∠2 как углы при основании равнобедренного треугольника ВСК. Получаем:
∠А < ∠2 < ∠C, значит
∠А < ∠С
Обратная теорема: В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Доказательство:
Пусть в треугольнике АВС ∠С > ∠A. Докажем, что АВ > ВС.
Предположим, что АВ < ВС. Тогда по доказанной теореме ∠С должен быть меньше ∠А. Это противоречит условию. Значит предположение неверно, АВ > ВС.
Примем длину меньшей диагонали за х, другую за (х + 2).
Далее применим теорему косинусов, где диагонали - это стороны треугольников против острого и тупого углов параллелограмма.
Известно, что косинусы этих углов, в сумме равных 180 градусов, равны по модулю и отличаются знаком.
cos A = (10² + 15² - x²)/(2*10*15).
-cos B = -(10² + 15² - (x + 2)²)/(2*10*15). Знак минус поставлен, чтобы приравнять значения косинусов:
(10² + 15² - x²)/(2*10*15) = -(10² + 15² - (x + 2)²)/(2*10*15).
Знаменатели равны, приравниваем числители.
(10² + 15² - x²) = -(10² + 15² - (x + 2)²).
325 - x² = -325 + x² + 4x + 4.
2x² + 4x - 646 = 0. сократим на 2:
x² + 2x - 323 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:
D=2^2-4*1*(-323)=4-4*(-323)=4-(-4*323)=4-(-1292)=4+1292=1296;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(2root1296-2)/(2*1)=(36-2)/2=34/2=17;
x_2=(-2root1296-2)/(2*1)=(-36-2)/2=-38/2=-19.
Принимаем положительный корень: х = 17 (это меньшая диагональ).
ответ: длина большей диагонали равна 17 + 2 = 19 см.
2) В задании, наверно, имеется в виду равнобедренная трапеция.
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота трапеции равна полусумме оснований, то есть средней линии.
Примем каждую третью часть средней линии за х.
Находим основания по свойству подобных треугольников.
Верхнее равно: х*2 = 2х, нижнее равно 2х * 2 = 4х.
Средняя линия равна: L = (2x + 4x)/2 = 3x.
Проекции боковых сторон на нижнее основание равны (4х - 2х)/2 = х.
По Пифагору 18² = x² + (3x)²,
324 = 10x².
x² = 32,4.
x = √32,4.
Средняя линия равна L = 3x = 3√32,4.
ответ: S = LH = L² = (3√32,4)² = 291,6 см².
