Ага, Пифагорова тройка (20, 21, 29). Проверьте сами - сумма квадратов первых 2 равна квадрату третьего.
Итак, в основании пирамиды прямоугольный треугольник с площадью
Sosn =20*21/2 = 210,
и грани пирамиды имеют одинаковый наклон.
Смотрите, чтобы много не считать. Вершина пирамиды проектируется в центр ВПИСАННОЙ окружности. Потому что при равном наклоне граней все апофемы равны (они равны h = H/sin(Ф), Н - высота пирамиды, Ф - двугранный угол между гранью и основанием). Вершина пирамиды равноудалена от сторон основания, значит, И ЕЁ проекция на основание будет равноудалена от сторон основания. То есть - это центр вписанной окружности.
Проекцией апофемы является радиус вписанной окружности r.
Причем апофема (любая) h = r/cos(Ф); Боковая поверхность при одинаковых апофемах вычисляется так
Sb = (1/2)*Р*h;
где Р - периметр основания (это просто сумма площадей всех треугольников-боковых граней),
Sb = (1/2)*P*r/cos(Ф) = Sosn/cos(Ф); Эта формула крайне полезная, но я не уверен, что программе она есть, поэтому просто её вывел по ходу решения.
Итак,
H = r*tg(Ф), в нашем случае H = r; r = (a + b - c)/2 = 6; (могу объяснить, как эта формула получается, если надо, это в прямоугольном треугольнике работает. Но можно и так сосчитать, r = 2*S/P = 420/(20+21+29) = 6;)
H = 6; это высота пирамиды
Sosn = 210;
Sb = 210/(корень(2)/2) = 210*корень(2);
Полная поверхность 210*(1 + корень(2));
См. рисунок во вложении
АОВ- центральный угол сегмента
Площадь сегмента S=пи*R^2*(угол AOB)/360, где R -радиус основной окружности.
Обозначим r - радиус вписанной окружности
DE - перпендикуляр из центра вписанной окружности на радиус AO.
CD=DF=DE=r
R=3*r
CO=R, CD+DF=2*r, значит, FO=r
DF+FO = 2*r
В треугольнике OED sin угла(EOD)=DE/DO=1/2
Угол EOD=30 градусов, он равен половине центрального угла сегмента (это очевидно из рассмотрения треугольников EDO и DOK), значит, центральный угол равен 60 градусов
S=пи*R^2*60/360=24*пи, откуда R^2=144, R=12
r=R/3=4
Длина вписанной окружности hfdyf 2*пи*r=8*пи
