№1. Чему равна величина центрального угла AOD, если дуга AD равна 12

1

окружности.

[2]

№2. В окружности с центром в точке О к хорде BC, равной радиусу

окружности, перпендикулярно проведен диаметр DK. Диаметр DK и хорда

BC пересекаются в точке E. Длина отрезка BE равна 8,7 см.

a) Постройте рисунок по условию задачи;

b) Определите длину хорды BC;

c) Найдите длину диаметра DK;

d) Найдите периметр треугольника BOC.

[4]

№3. СА – касательная к окружности.

 AB 100

.

Вычислите градусную меру

угла ВАС.

[3]

№4. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник.

Стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4, 5, а периметр равен 36

см.

[3]

№5. Из точки B которая лежит на окружности проведены диаметр и хорда,

равная радиусу. Найдите угол между ними.

[4]

№6. Углы треугольника ABC пропорциональны числам 1, 2, 3. А стороны

равны 8 см, 12 см и 7 см. Найдите радиус окружности, описанной около

треугольника ABC.

​

Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне и равна ее половине.

5.
1) КН║АС, КН = АС/2 как средняя линия треугольника АВС,
МР║АС, МР = АС/2 как средняя линия треугольника ADC, значит
КН║МР и КН = МР, а если противоположные стороны четырехугольника параллельны и равны, то это параллелограмм.
КНРМ - параллелограмм.
2) Аналогично доказываем, что КНРМ параллелограмм и добавим, что
НР = KM = BD/2 (как средние линии соответствующих треугольников)
КН = МР = АС/2.
В прямоугольнике диагонали равны, значит стороны параллелограмма КНРМ равны, и следовательно это ромб.
3) Все то же и
КН║МР║АС, КМ║НР║BD.
Диагонали ромба перпендикулярны, значит и смежные стороны параллелограмма КНРМ перпендикулярны, и следовательно, это прямоугольник.
4) Так как квадрат - это прямоугольник с равными сторонами, то из задач 2) и 3) следует, что КНРМ - ромб с перпендикулярными смежными сторонами, то есть квадрат.

6. По свойству средней линии треугольника:
КН = АС/2 = 15/2 = 7,5 см
НР = АВ/2 = 10/2 = 5 см
КР = ВС/2 = 12/2 = 6 см

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ диагонали грани A₁B₁C₁D₁ пересекаются в точке O. Назовите линейный угол двугранного угла DA₁C₁D₁

––––––––––––––––––––––

Определение:  Двугранный угол — пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями.

Линейный угол-это угол образованный пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру.

Все грани куба - квадраты. Их диагонали равны, пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. 

Искомый угол - это угол DOD₁ между плоскостями А₁С₁D₁  и  A₁C₁D, где D₁O ⊥ A₁C₁, как половина диагонали грани, а DО ⊥ А₁С₁ как наклонная, чья проекция перпендикулярна прямой ( т. о трех перпендикулярах). Плоскость DD₁O перпендикулярна граням двугранного угла. 

В приложении с рисунком найдена и  примерная величина этого угла ≈ 54,7°