Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 12 см, а сторона основания равна 24 см. Вычисли двугранный угол при основании.
——————————————————
Основание правильной четырехугольной пирамиды – квадрат.
Все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, а высота проходит через центр основания, который является центром вписанной и описанной около основания окружностей.
Двугранный угол здесь образован радиусом вписанной окружности и апофемой, как отрезками. перпендикулярными ребру основания в одной точке (по т. о трех перпендикулярах).
Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны.
r=24:2=12 (см)
Соединив основание апофемы с центром основания ( основанием высоты пирамиды), получим прямоугольный треугольник.
При этом катеты- высота пирамиды и половина стороны основания - равны 12 см.
Следовательно, треугольник - равнобедренный. Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45º.⇒ Искомый угол равен 45º.
Опускаем, значит, две высоты, которые и являются расстоянием до наших хорд. Это будут OH = 3 и OH1 = 4. Концы хорды = 10 обозначим за A и D, а другой - за B и C (Рисунок я здесь, к сожалению, сделать не смогу))
1) тр COB - равнобедренный по определению, так как CO=OB=R.
OH - высота, медиана.
тр AOD - аналогично - равнобедренный по определению, так как AO=OD=R
OH1 - Высота, медиана.
2) тр. COH - прямоугольный
По теореме Пифагора - CH^2 + OH^2 = OC^2
3^2 + 5^2 = OC^2
OC = R = кор из 34
3) Тр. H1OD - прямоугольный, OD^2 = OH1^2 + H1D^2
H1D^2 = OD^2 - OH1^2 = 34 - 4^2 = 18
H1D = 3 корня из двух
AD = 6 корней из двух
В итоге получаем, что вторая хорда равна шесть корней из двух, это и есть ответц) Только мне не очень понятно, зачем же дана перпендикулярность хорд. =)
