13. (Б) У многоугольника всего 20 диагоналей. Сколько у него сторон? 14. (Б) Разрежьте пятиконечную звезду на пять выпуклых фигур.
15. (А) Диагональ BD четырехугольника ABCD образует равные углы сего
сторонами AB и CD. Известно, что AB = CD. Докажите, что BC = AD.
16. (Б) В четырёхугольнике ABCD диагональ AC делит углы BAD и BCD пополам,
Докажите, что его диагонали перпендикулярны.
17. (Б) Внутри прямого угла взяли любую точку М. Её отразили симметрично
относительно сторон этого угла и получили точки M, и М. Докажите, что
вершина угла лежит на середине отрезка M, M..
18. (Б) В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны. Его диагонали тоже
равны и пересекаются в точке 0. Докажите, что АО = D0.
19. (А) Прямая пересекает две параллельные в точках А и В. Биссектрисы двух
смежных углов с вершиной в точке В при одной из этих прямых пересекают
другую параллельную прямую в точках Си Е. Докажите, что AC = AE.
20. (А) В пятиугольнике ABCDE стороны AB и DE параллельны, а углы ABC и CDE
равны 100° и 120° соответственно. Найдите величину угла BCD.
2​

У любого параллелограмма противоположные углы равны и стороны противоположные равны.
Сумма всех углов параллелограмма равна 360°.

АВСД - параллелограмм, ∠А=∠С, ∠В=∠Д
∠А+∠В+∠С+∠Д=360°
Допустим, что ∠В=∠Д=107°
Значит
∠А+∠В+∠С+∠Д=360° и ∠В=∠Д, значит
∠А+107°+∠С+107°=360°
∠А+∠С=360°-214°
2∠А=146°
∠А=∠С=146°/2
∠А=∠С=73°.

Периметр параллелограмма = сумме всех его сторон.
Допустим, что ВК - биссектриса, а она делит угол пополам, значит ∠АВК=∠СВК=0,5*∠АВС=0,5*107°=53,5°.

Рассмотрим треугольник АВК, в нем 
∠А=73°
∠В=53,5°.
АК=8 см

Сумма углов любого треугольника равна 180°, то есть
∠А+∠В+∠К=180°
73°+53,5°+∠К=180°
∠К=180°-126,5°
∠К=53,5°

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, т.е. в треугольнике АВК
АК/sin∠В=АВ/sin∠К, отсюда
АВ=АК*sin∠К/sin∠В.
Поскольку ∠К=∠В=53,5°, то и sin∠К=sin∠В, выходит, что 
sin∠К/sin∠В=1, а это значит
АВ=АК*sin∠К/sin∠В
АВ=АК=8 см.

АД=АК+ДК=8+12 см=20 см

Поскольку у любого параллелограмма противоположные стороны равны, значит
АВ=СД=8 см
ВС=АД=20 см.

Периметр параллелограмма = сумме всех его сторон, то есть
Р=АВ+ВС+СД+АД=8+20+8+20=56 см.

ответ: ∠А=∠С=73°;
∠В=∠Д=107°;
Периметр параллелограмма = 56 см.

Треугольник АВС - прямоугольный, ∠В=90°, поскольку у в прямоугольнике все углы =90°
Сумма углов любого треугольника 180°, в т.ч. и нашего треугольника АВС.
∠А+∠В+∠С=90°
Поскольку по условию задания CAB=2*ACB, значит в треугольнике АВС
∠А=2*∠С, выходит
2*∠С+90°+∠С=180°
3*∠С=90°
∠С=30°.
Значит ∠А=2*∠С=2*30°=60°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС дальше:
АС-гипотенуза, АВ и ВС - это катеты
cos ∠А=АВ/АС
sin ∠А=ВС/АС

cos ∠А=cos 60°=1/2=0,5
sin ∠А=sin 60°=√3/2=0,5√3

cos ∠А=АВ/АС
0,5=АВ/АС, отсюда АВ=0,5АС

sin ∠А=ВС/АС
0,5√3=ВС/АС, отсюда ВС=0,5АС√3

У прямоугольника противоположные стороны равны, значит АВ=СД=0,5АС, а ВС=АД=0,5АС√3

Периметр равен сумме длины всех сторон прямоугольника, то есть
Периметр=АВ+ВС+СД+АД
Периметр=0,5АС+ 0,5АС√3+ 0,5АС+0,5АС√3
Периметр=АС+АС√3
Периметр=АС*(1+√3)

ответ: периметр = АС*(1+√3), где АС - это диагональ прямоугольника