1)
Дано:
прям. ABCD
AB=12 см
AC - диагональ
угол ACB/углу ACD = 1/2
Найти:
AC-?
Диагональ делит прям. на два равных прямоугольных треугольника.
Пусть угол ACB =x, тогда угол ACD=2x.
Угол CAD = углу ACB = x (накерст лежащие при AD||BC и сек. AC)
Расс. тр. ACD
x+2x+90⁰=180⁰
3x=90⁰
x=30⁰
Значит угол CAD=30⁰, угол ACD=2*30⁰=60⁰
Из сво-ва прям. тр-ка, катет лежащий против угла в 30⁰ равен половине гипотенузы ⇒AC=2*CD = 2*16=32 см
ответ: диагональ прям-ка равна 32 см
2)
Дано:
прям. тр. ABC
угол С = 90⁰
AB=11√11 см
tgα=√2/3
Найти:
AC-?
tgα=BC/AC
Введем x, тогда tgα=√2x/3x
По т. Пифагора:
AB²=AC²+BC²
(11√11)²=(√2x)²+(3x)²
1331=11x²
121=x²
x=11
Отсюда:
BC=√2*11=11√2
AC=3*11=33
ответ: АС равно 33
3)
Дано:
прям. тр. ABC
угол С=90⁰
AB=20
AC=2√19
Найти:
cosβ - ?
Cosβ=BC/AB
по т. Пифагора
BC=√20²-(2√19)²=√400-76=√324=18
Cosβ=18/20=0.9
ответ: cosβ=0.9
Найдем сначала угол при основании этого треугольника. Так как у равнобедренного треугольника углы при основании равны, то можно, обозначив угол при основании через альфа и имея ввиду, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, составить уравнение. 
То есть 
. Если рассмотреть треугольник, образованный высотой h, основанием исходного треугольника и частью боковой стороны, то можно увидеть, что основание треугольника является его гипотенузой. h - противолежащая сторона к углу при основании треугольника, который мы вычислили. Значит гипотенузу можно найти как отношение катета h к синусу угла при основании большого треугольника. ответом будет 
