Знайдіть відношення площ правильних трикутника та шестикутника, вписаних в одне й те саме коло. Найдите отношение площадей правильных треугольника и шестиугольника, вписанных в один и тот же круг.

Решение Пусть данный треугольник будет АВС. 
Угол В=105º, 
угол С=45º 
Найдем третий угол треугольника: угол А=180-*105+45)=30º 
Угол А - наименьший, и против него лежит  наименьшая сторона ВС ∆ АВС. 
Проведем высоту ВН и получим равнобедренный прямоугольный треугольник ВНС.  
ВН=НС 
По т. Пифагора ВН=7 
Или ВН=ВС*sin 45º=7 
Катет ВН прямоугольного ∆ ВАН  противолежит углу 30º и равен половине гипотенузы ВА 
АВ Найдем угол А - равен 30º 
Этому углу противолежит сторона ВС =7√2
Тогда по т.синусов
АВ:sin 45º=BC:sin 30º
(АВ√2):2=(7√2):0,5⇒
АВ=7*2=14 см

Дано:

а = 6 см - меньшее основание трапеции

α = 120° - тупой угол трапеции

γ = 30° - угол между диагональю трапеции и основанием

Найти:

b - большее основание трапеции

β = 180° - α = 180° - 120° = 60° - острый угол трапеции

Поскольку диагональ образует с основаниями угол γ = 30°, то угол ζ между боковой стороной и диагональю равен

ζ = β - γ = 60° - 30° = 30°

Треугольник, образованный диагональю, боковой стороной и меньшим основанием, является равнобедренным, поскольку

угол ζ = углу γ = 30°

Поэтому боковая сторона с равна меньшему основанию а

с = а = 6 см

Тогда проекция cb боковой стороны с на большее основание b равна

сb = c · cos β = 6 · 0.5 = 3 (см)

b = a + 2cb

b =  6 + 2 · 3 = 12 (cм)

Большее основание трапеции 12 см