Лучшее решение всегда то, что проще и короче. Но показалось интересным дать решение несколько иное, чем первое. Для нахождения площади треугольника существуют разные формулы. Одна из них S=(a*b*sin α):2, где а и b- стороны треугольника, α - угол между ними. Пусть данный треугольник - АВС Для удобства вычисления построим подобный ему меньший треугольник КРМ со сторонами в 8 раз меньше сторон данного по условию, т.е. с коэффициентом подобия k=8. Это будет треугольник со сторонами 2, 3, 4 По т. косинусов найдем косинус угла между сторонами длиной 2 и 4. 3²=2²+4² -2*2*4*cos α 16 cos α =11 cos α=11/16 sin²α=1-cos²α=135/256 sin α=√(134/256)=(3√15)/16
S Δ КРМ =[2*4*(3√15)/16]:2=(3√15):4 Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, т.е. площадь исходного треугольника в 8 раз больше полученной. Площадь треугольника со сторонами 16,24,32 равна S Δ АВС=8²*(3√15):4=48√15
Окружность с центром О₁ касается стороны угла АВ в точке Е, радиус окружности О₁Е=О₁К=39. Окружность с центром О₂ касается стороны угла АВ в точке Д, радиус окружности О₂Д=О₂К=42. Т.к. касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания, то О₁Е ⊥АЕ, О₂Д⊥АД, О₁К⊥ВС и О₂К⊥ВС. Рассмотрим ΔО₁ЕВ иΔО₁КВ они равны по трем сторонам (О₁Е=О₁К как радиусы, ЕВ=КВ как отрезки касательных из одной точки, О₁В - общая). Значит <ЕВО₁=<КВО₁, тогда О₁В - биссектриса <ЕВК. Аналогично доказывается, что О₂В - биссектриса <ДВК <ЕВК.и <ДВК - смежные, а биссектрисы смежных углов, пересекаются под прямым углом, значит <О₁ВО₂=90°. В прямоугольном ΔО₁ВО₂ ВК является высотой, опущенной из прямого угла на гипотенузу: ВК=√О₁К*О₂К=√39*42=√1638=3√182 ΔАВС - равнобедренный (АВ=АС): АК является высотой, медианой и биссектрисой. Основание ВС=2ВК=6√182 Получается, что окружность с центром О₁ вписана в ΔАВС. Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник О₁К=ВС/2*√(2АВ-ВС)/(2АВ+ВС) Подставляем данные: 39=6√182/2 * √(2АВ-6√182)/(2АВ+6√182) (2АВ-6√182)/(2АВ+6√182)=(13/√182)² 182(2АВ-6√182)=169(2АВ+6√182) 26АВ=2106√182 АВ=81√182 АК=√(АВ²-ВК²)=√((81√182)²-(3√182)²)=√78*84*182=1092 Площадь ΔАВС: Sавс=АК*ВС/2=АК*ВК=1092*3√182=3276√182 Радиус описанной окружности R=АВ²*ВС/4Sавс=(81√182)²*6√182 / 4*3276√182=2187/4=546,75 ответ: 546,75
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
