8. Доведіть рівність кутів MCP i MDP, зображених на рисунку,
Якщо СК = DK i CKP = ZDKP.
​

Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Точки E, F, M и K - середины отрезков AB, BC, CD и AD соответственно. 

а) докажите, что EFMK - параллелограмм. 

А к с и о м а 1.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

С л е д с т в и е 1.

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.

Соединив отрезками данные точки по три: 

А, В и С – получим ∆ АВС. 

А, D и C – получим ∆ ADC

B, D и С  – получим ∆ BDС

B, D и A – получим ∆  BDA.

Отрезок, соединяющий середины двух его сторон называется средней линией треугольника. 

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

EF – средняя линия треугольника АВС и параллельна основанию АС по определению.

КМ – средняя линия треугольника АDC и параллельна основанию АС по определению.  

EF=AC:2, KM=AC:2 ⇒ EF||KM и EF=KM

То же самое верно для КЕ и МF.

Если противоположные стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 

------------------------------

б) найдите периметр EFMK, если AC = 6 см, BD = 8 см

КЕ=MF=BD:2=8:2=4

KM=EF=AC:2=6:2=3

P (KMFE)=2•(3+4)=14 см

Даны вершины треугольника АВС: А(-2; 0), В(-3; 2), С(1; -1).

1) Уравнение прямых AB, ВС и АС.

Вектор АВ = (-3)-(-2)=-1;  2-0=2) = (-1; 2).

Вектор ВС = (1-(-3)=4;  -1-2=-3) = (4; -3).

Вектор АС = (1-(-2)=3;  -1-0=-1) = (3; -1).

Каноническое уравнение прямой АВ:  (x + 2)/(-1) = y/2.

Каноническое уравнение прямой ВС:  (x + 3)/4 = (y - 2)/(-3).

Каноническое уравнение прямой АС:  (x - 1)/3 = (y + 1)/(-1).

2) Высота АК.

Найдем угловой коэффициент k1 прямой ВС.  Точки В(-3; 2), С(1; -1).

k1(ВС) = Δу/Δ х = (-1-2)/(1+3) = -3/4.

Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.  

Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим:  (-3/4)*k = -1, откуда k = -1/(-3/4) = 4/3.  

Так как перпендикуляр проходит через точку А(-2; 0) и имеет k = (4/3), то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).  

Подставляя x0 = -2, k = (4/3), y0 = 0 получим уравнение высоты АК:  

y - 0 = (4/3)*(x + 2)  

или   y = (4/3)x + (8/3) или 4x  - 3у + 8 = 0.

Найдем точку пересечения с прямой ВС:  

Уравнение ВС:  (x + 3)/4 = (y - 2)/(-3) или у = (-3/4)х - (1/4).

Имеем систему из двух уравнений по прямым АК и ВС:

 y = (4/3)x + (8/3)

у = (-3/4)х - (1/4)

Приравняв правые части, имеем (25/12)х = -35/12.

Отсюда х  = -35/25 = -7/5 = -1,4.

у = (4/3)*(-7/5) + (8/3) = (4/5) = 0,8.

Точка К(-1,4; 0,8).

3) Модули сторон:  

АВ = √((-1)² + 2²) = √5.

АС = √(3² + (-1)²) = √10.

cos BAC = ((-1)*3 + 2(-1))/(√5√10) = -5/√50 = -1/√2 = -√2/2.

Угол ВАС равен 135 градусов.