Апофема правильной треугольной пирамиды равна 9/√π, двугранный угол при ребре основания 60°. Вычислите площадь сферы вписанной в пирамиду.
Вспомним, что правильной называется пирамида, в основании которой лежит правильный треугольник.
Поскольку пирамида правильная, в нее можно вписать шар.
Его центр лежит на высоте пирамиды и совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник, боковые стороны которого равны апофеме. ( См. рисунок)
Так как двугранный угол этой пирамиды равен 60°, то и основание треугольника MSH равно апофеме пирамиды. Т.е. треугольник этот - равносторонний.
Радиус сферы, площадь поверхности которой предстоит найти, равен радиусу вписанной в этот равносторонний треугольник окружности и равен одной трети высоты этого треугольника, которая является и высотой пирамиды.
Эту высоту найдем из треугольника SOM.
Она равна SM·sin (60°)
SO=(9/√π)·(√3):2
Радиус вписанной сферы в эту пирамиду
r=(3√3):2√π
S=4πR²
S=4π{(3√3):2√π}²=4π·27:4π=27 см²
Гипотенуза треугольника лежащего в основании равна 10, по т пифагора Корень из 64+36 сумаа квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ну 10 короче. Дальше найдем площадь оснований и сложим их. Площадь основани это площадь треугольника лежащего в основании 1/2*6*8=24 и тк у нас два основания умножаем на 2 т.е 48см^2/
Дальше найдем высоту. Высота тут будет вертикальное ребро тк призма прямая то все три ребра расположены к основанию под углом 90 градусов. Обозначим высоту за х. и теперь мы должны найти сумму площадей трех граней. Тк мы уже нашли площади оснований вычитаем их сумму из площади полной поверхности 288-48=240. теперь запишем сумму площадей граней 6х+8х+10х=240 24х=40 х=10см высота равна 10см.
