Твір на тему Конрад у моєму класі​

      Рассмотрим получившиеся треугольники АВС и АДЕ:
Угол А – общий. Углы АВС и АДЕ равны  как соответственные углы образованные параллельными прямыми, пересеченными секущей
     Значит данные треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.
     Сторона АЕ треугольника АДЕ равна АС+СЕ:
АЕ=8+4=12 см.
     Зная это, мы можем найти коэффициент подобия треугольников: k=АЕ/АС=12/8=1,5
     Найдем стороны треугольника АДЕ:
АД=АВ*k=10*1.5=15 см.
ДЕ=ВС*k=4*1,5=6 см.
     ВД=АД-АБ=15-10=5 см.
ответ: ВД=5 см. ДЕ=6 см.

Действительно, радиус вписанной в ромб окружности  - это высота в прямоугольном треугольнике, образованном половинками диагоналей и боковой стороной. Центр окружности лежит в точке пересечения диагоналей, и радиус перпендикулярен боковой стороне (как к касательной). 

Остается найти высоту к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, в котором известны

1. катеты 3 и 4, то есть гипотенуза 5 (опять 3,4,5 :)) - египетский треугольник), а высота 3*4/5 (удвоенная площадь, делить на гипотенузу) = 12/5; r = 2,4;

2. гипотенуза a и угол alfa/2 (ясно, что диагональ в ромбе делит угол пополам);

Тем же удвоенная площадь, делить на гипотенузу)

r = a*cos(alfa/2)*a*sin(alfa/2)/a = (a/2)*sin(alfa);

 

Отмечу, что можно все получить "как-бы проще" :)) площадь РОМБА 

a^2*sin(alfa), а периметр 4*a, отсюда r = 2*S/P = (a/2)*sin(alfa);

Но можно ЕЩЕ проще. ВЫСОТА РОМБА равна a*sin(alfa), а диаметр окружности,  касающейся 2 параллельных прямых, равен расстоянию между ними. То есть мы УЖЕ всё нашли, r = a*sin(alfa)/2;