При паралельному перенесенні трикутник АBC (кут С-прямий) із катками 3 см і 4 см переходить в трикутник A'B'C'. Знайдіть довжину відрізка A'B'.

MB :MA =2:3 ⇔MB =2x ;MA =3x . MK =4 см ; AC || MK.

ΔABC подобен ΔMBK  ( AC || MK ) ;
AC/MK =AB/MB  (AB =MB +MA=2x +3x=5x ; AB/MB =5x/2x =5/2);
AC/4  =5/2⇒AC=10 ( см).

ответ : AC = 10 см.

AM=MB ; CP=PB ; AE=ED ; CK=KD ;AC =12 см ; MK =PE=10 см .

BD-->?

MP =AC/2 =EK ; MP | | AC | | EK (свойство средней линии треугольника).
MPKC _параллелограмма диагонали которой равны MK =PE.
Значит MPKC  прямоугольник (<MEK=<.EKP =<KPM=<PME =90°)  , в котором известны  одна сторона и  диагональ, можно определить другую сторону.
  Из ΔMEK:  ME =√(MK² -EK²) =√(10² -6²) =8 (см) .
В треугольнике BAD  ME средняя линия  , следовательно:
ME =BD/2 ⇒BD=2*ME =2*8 см =16 см.

ответ : BD = 16 см.

Рассмотрим треугольник АМВ. Он равнобедренный по условию (ВМ=АМ). Значит, углы при его основании АВ равны.
<MBA=<MAB.
Рассмотрим треугольник ВМС. Здесь <MBC=<ABC-<MBA=60-<MBA (углы равностороннего треугольника равны по 60 градусов).
Рассмотрим треугольник АМС. Здесь <MAC=<BAC-<MAB=60-<MAB.
Но <MBA=<MAB как показано выше, значит
<MBC=<MAC. 
Тогда треугольники ВМС и АМС равны по двум сторонам и углу между ними:
- ВС=АС, т.к. АВС - равносторонний треугольник;
- ВМ=АМ по условию;
- соответственные углы МВС и МАС равны как показано выше. 
В равных треугольниках ВМС и АМС равны соответственные углы МСВ и МСА, т.е. СМ - биссектриса угла АСВ.