: Дана прямая призма, в основании которой лежит правильный шестиугольник ABCDEF. Эту призму вписали в прямоугольный параллелепипед MNKPM1N1K1P1 так, что все вершины обоих оснований призмы лежат на сторонах соответственно обоих оснований параллелепипеда. Причем BC и EF лежат на MN и KP соответственно, а точки A и D – на сторонах MP и NK соответственно. Во сколько раз объем призмы отличается от объема параллелепипеда?​

Рассмотрим картинку. Так как параллелепипед прямоугольный, то он прямой и в основании лежит прямоугольник. Следовательно, его боковые ребра (например, MM1) параллельны боковым ребрам призмы и равны, так как основания призмы вписаны в основания параллелепипеда (то есть лежат в одних и тех же плоскостях). Отсюда следует, что высоты призмы и параллелепипеда одинаковы. Пусть h – длина их высоты. Рассмотрим отдельно основание. По свойству правильного шестиугольника BF⊥FE. Так как MNKP – прямоугольник, то есть MP⊥PK, то MP∥BF. Заметим также, что вообще говоря MP=BF, а PK=AD. Пусть a – сторона шестиугольника. Его угол равен 120∘, следовательно, по теореме косинусов:

Заметим также, что ∠MAB=30∘, следовательно, в треугольнике MAB : sin⁡30∘=MB/AB⇒MB=1/2a.

Следовательно, MN=1/2a+a+1/2a=2a. Значит, MNKP – прямоугольник со сторонами a√3 и 2a. Площадь правильного шестиугольника равна 3√3/2a², следовательно, объем призмы :

а объем параллелепипеда:

следовательно ,

Одна из самых долгих моих задач, может получит значок *поверенный*...