Часть 1 1. B треугольнике MNK известно, что 2M = 329, 2K = 68°. Укажите верное
неравенство:
1) МК > MN;
2) MN> NK;
3) NK > МК;
4) NK > MN.
2. На рисунке DM = CE, 2CED = 2MDE. Докажите, что DC = MЕ.
С
M
D
E
3. В треугольнике RST известно, что 2 R = 60°, 25 = 40°. Биссектриса угла R
пересекает сторону ST в точке К. Найдите угол RKT.
Часть 2
4. В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания
вписанной окружности в отношении 3:4, считая от вершины угла при
основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр
равен 120 см.
5. В треугольнике ABC известно, что 2 B = 90", 2 ACB = 60", отрезок CD -
биссектриса треугольника. Найдите катет AB, если BD =5 см.

Начнем с самого простого:
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности (свойство). Но можно и так: диагонали правильного шестиугольника разбивают описанную окружность на 6 равных равносторонних треугольника (см. рисунок). Поэтому сторона этого шестиугольника равна радиусу описанной окружности.
Rш=10см.
Диагональ правильного четырехугольника (квадрата) равна диаметру описанной около него окружности (свойство). D=20см.
Тогда его сторона равна Rк= 10√2см.
Сторона правильного треугольника равна  R*√3 (формула). Или в нашем случае 10√3.
Но можно и без формулы: по теореме косинусов.
a² = 2*R²-2R²*Cos120° или a²=200*(1+1/2) = 100*3. a=√300 = 10√3см.
ответ: сторона треугольника равна 10√3см, четырехугольника10√2см и шестиугольника 10см.

Смотрите вложенный файл. Там чертеж. 
Допустим,около окружности описан квадрат(правильный четырехугольник),а в окружность вписан квадрат так,что вершины квадрата совпадают с точками касания окружности и описанного квадрата. (на чертеже все видно!)
Сторона описанного квадрата равна 2а. В точке касания она делится пополам,и эти "половинки" равны а.
Образуется прямоугольный треугольник. Из него получаем:
а²+а²=2а²
Тогда сторона вписанного квадрата равна а√2
Периметр вписанного квадрата равен p=4а√2
Периметр описанного квадрата равен P=8а
p/P=(4а√2)/(8а)=√2/2(это отношение периметров)
Площадь вписанного квадрата s=(a√2)²=2a²
Площадь описанного квадрата S=S₂=(2a)²=4a²
Отношение площадей:
s/S=(2a²)/(4a²)=1/2

ответ: √2/2;1/2