1.квадраты abcd и defk имеют общую вершину d, причём точка e лежит на стороне ab. верно ли, что точка k лежит на прямой bc? 2.на продолжении сторон квадрата ad и cd квадрата abcd взяли точки m и k так, что ma=dk. докажите, что прямые ak и bm перпендикулярны друг другу. 3.вокруг квадрата описали треугольник так, что каждая вершина квадрата лежит на одной из сторон этого прямоугольника. верно ли, что данный прямоугольник - тоже квадрат? ! надо!

Объяснение:5) ↑а(4;3), ↑b(6;-8). ↑с(m;6)

а)Пусть α-угол между векторами ↑а и ↑b  , тогда  a·b= |a| |b|· Cosα

a·b = 4·6+ 3·(-8)=  24-24=0 . Так как скалярное произведение векторов равно 0, то вектора перпендикулярны, значит α=90°  

б)↑а(4;3), ↑с(m;6) коллинеарны, значит их координаты пропорциональны, т.е.  4/m= 3/6 ⇒3m=24 ⇒m=8

b) ↑b(6;-8). ↑с(m;6) перпендикулярны, значит их скалярное произведение равно нулю, т.е.  6m+(-48)=0 ⇒6m=48 ⇒ m=8

6) A(1;1), В(2;3), С(0;4), Д(-1;2)

Воспользуемся признаком параллелограмма  

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

АВ²= (1-2)²+(1-3)²= 1+4=5;

ВС²= (2-0)²+(3-4)²=4+1=5;

СД²= (0+1)²+(4-2)²=1+4=5;

АД²= (1+1)²+(1-2)²=4+1=5 ⇒  АВ=СД, ВС=АД ⇒ АВСД параллелограмм

 

Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна а и образует с 
плоскостью боковой грани угол 30°. Найти:
а) сторону основания 
призмы. 
б) угол между диагональю призмы и плоскостью основания
в) площадь боковой поверхности призмы. 
г) площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы.

В основаниях правильной призмы - правильные многоугольники, а боковые грани - прямоугольники. Следовательно,  ее боковые ребра перпендикулярны основанию. 
Треугольник ВD1А - прямоугольный (в основании призмы - квадрат,  и ребра перпендикулярны основанию.
а) Сторона основания противолежит углу 30°, поэтому АВ=а*sin 30=a/2
б) угол между диагональю призмы и плоскостью основания - это угол между диагональю ВD1 призмы и диагональю  ВD основания.
ВD  как диагональ квадрата равна а√2):2
cos D1BD=BD:BD1=( а√2):2):a=(√2):2), 
и это косинус 45 градусов. 
в) площадь боковой поверхности призмы находят произведением высоты на периметр основания:
S бок=DD1*AB= (а√2):2)*4*a/2=a²√2
г) Сечение призмы, площадь которого надо найти,  это треугольник АСК.
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Верным является и обратное утверждение. 
Высота КН  - средняя линия прямоугольного треугольника BDD1. Она параллельна диагонали призмы, а само сечение проходит через диагональ АС  основания. 
S Δ(АСК)=КН*СА:2
SΔ (АСК)=(0,5а*а√2):2):2=(а²√2):8