Отрезок PM – апофема правильной треугольной пирамиды PABC с высотой PO. Какой угол является двугранным углом при ребре AB? a. PAM
b. PAO
c. PMO
d. POM​

Двугранный угол  образован двумя плоскостями с общим ребром ( по линии их пересечения). Если провести в каждой плоскости к одной точке ребра двугранного угла перпендикулярные лучи, получим линейный угол двугранного угла, и его величина равна величине данного двугранного угла 

∠ АНС - искомый угол. 

Расстояние от точки А до ДЕ - длина  проведенного перпендикулярно  ДЕ  отрезка АН.  

АН - наклонная, СН - её проекция. По т. о 3-х перпендикулярах АН и СН перпендикулярны ДЕ. 

СН - высота и медиана равнобедренного прямоугольного ∆ ДСЕ.

Медиана прямоугольного треугольника  равна половине гипотенузы. 

Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45°

∆ СНД - равнобедренный, СН=СД•sin 45°. СН=12

По т.Пифагора АН=√(АС*+СН*)=√ (35*+12*)=37 см.

tg∠AHC=AC:CH=35/12=2,916

 Это тангенс угла 71,075°

Пусть дан треугольник ABC, у которого ∠A -тупой, CF и BE - его высоты, проведенные к сторонам AB и AC соответственно, и пусть продолжения этих высот пересекаются в точке D. Т.к. угол А - тупой, то D лежит вне ABC.
Тогда ∠CAB=180°-∠CAF. Но ∠CAF=∠CDE, т.к. треугольники CAF и CDE - прямоугольные с общим углом С, т.е. ∠CAB=180°-∠CDE. Значит sin(∠CAB)=sin(180°-∠CDE)=sin(∠CDE)=sin(∠CDB). По теореме синусов радиус окружности, описанной около ABC, равен BC/(2sin(∠CAB)), а радиус окружности, описанной около CDB равен BC/(2sin(∠CDB)). В силу равенства синусов, получаем равенство радиусов этих окружностей, что и требовалось.