Из точки, отстоящей от плоскости на 12 см, проведены наклонные под углом 60°, угол между проекциями равен 90º. Найти длины наклонных и расстояние между основаниями этих наклонных. Точка D лежит на отрезке AB, при чем DB : BA = 2:5. Через точку А проведена плоскость α, а через точку D – отрезок DD1, параллельный этой плоскости α. Прямая BD1 пересекает плоскость α в точке С. Найдите DD1, если АС = 8 см.
решите

​

∆АВС – прямоугольный с прямым углом АВС по условию;

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, тогда угол АСВ=90°–угол ВАС=90°–45°=45°.

Получим что угол ВАС=угол АСВ, следовательно ∆АВС – равнобедренный с основанием АС.

Тогда АВ=ВС=100.

∆ABD – прямоугольный с прямым углом ABD по условию.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, значит угол ADB=90°–угол BAD=90°–60°=30°.

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, вдвое меньший гипотенузы.

Тоесть АВ=0,5*АD => АD=2*АВ=2*100=200.

По теореме Пифагора в прямоугольном ∆АВD:

AD²=AB²+BD²

200²=100²+BD²

40000–10000=BD²

BD=√30000

(BD=–√30000 не может быть, так как длина всегда положительна)

BD=100√3

CD=BD–ВС=100(√3)–100=100((√3)–1)

ответ: 100((√3)–1)

Теорема про три перпендикуляри. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.На малюнку 415 АН - перпендикуляр до площини α; АМ - похила. Через основу похилої - точку М проведено пряму а. Теорема про три перпендикуляри стверджує, що якщо а  НМ, то а  АМ, і навпаки, якщо а  АМ, то а  НМ.

Приклад 1. З вершини квадрата АВСD проведено перпендикуляр АК до площини квадрата. Знайти площу квадрата, якщо КD = 5 см; КС = 13 см.Розв’язання (мал. 416). 1) АК  АВС; КD - похила; АDБ - її проекція. Оскільки АD  DС, то за теоремою про три перпендикуляри маємо КD  DС.3) Тоді площа квадрата S = 82 = 64 (см2).

Приклад 2. Сторони трикутника довжиною 4 см, 13 см і 15 см. Через вершину найбільшого кута до площини трикутника проведено перпендикуляр і з його кінця, що не належить трикутнику, проведено перпендикуляр завдовжки 4 см до протилежної сторони цього кута. Знайти довжину перпендикуляра, проведеного до площини трикутника.Розв’язання. 1) У ∆АВС: АВ = 4 см; ВС = 13 см; АС = 15 см. Оскільки АС - найбільша сторона трикутника, то АВС - найбільший кут трикутника. ВК  АВС (мал. 417).2) КМ  АС, тоді за теоремою про три перпендикуляри: ВМ  АС, тобто ВМ - висота ∆АВС. За умовою: КМ = 4см.3) Знайдемо площу трикутника АВС за формулою Герона.4) 3 іншого боку