Сторона куба ABCD равна . Найти отношение площади треугольника АС к , если полная площадь куба равна 192.

Пусть дан угол с вершиной в точке О (верхний рисунок).

Начертим прямую а. Отметим на ней произвольную точку O'.

Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке О. Эта окружность пересечет стороны данного угла в точках А и В.

Не меняя раствор циркуля, проведем окружность с центром в точке O'. Она пересечет прямую а в точке B'.

Проведем окружность с центром в точке В, радиусом АВ.

Не меняя раствор циркуля, проведем окружность с центром в точке B'.
Она пересечет первую окружность в точке A'.

Проведем луч O'A'.
Угол A'O'B' - искомый.

Чтобы отложить отрезок, равный данному, надо "измерить" его с циркуля (взять радиус, равный данному отрезку) и провести дугу этого радиуса с центром в вершине угла (сделать засечку на стороне угла)

1.АВСД-квадрат, АС=10, АВ=ВС=х по теореме Пифагора

х^2+x^2=10^2

2x^2=100

x^2=50

x=5 корень из 2

2. Так как сумма углов трапеции 360, а трапеция равнобедренная, то острые углы при большем основании равны 45 градусов. Трапеция АВСД, АВС=135, угол ВАД=45, высота ВЕ=2, меньшее основание ВС=4

Рассмотрим треугольник, образованный высотой АВЕ, он прямоугольный (угол ВЕА-прямой), так в треуг. сумма углов 180 градусов, то угол АВЕ=45 градусов и равен углу ВАЕ, значит треуг. равнобедрен. и АЕ=ВЕ=2, опустив высоту СК, также получаем СК=СД=2, ВС=ЕК=4, значит АД=2+2+4=8.Площадь трапеции

S=1/2*(ВС+АД)*ВЕ

S=1/2(4+8)*2

S=12

3.S=1/2(a+b)h=168

h=3a и h=b/2, тогда

а=h/3 и b=2h

1/2(h/3+2h)h=168

h^2/3+2h^2=168*2

(h^2+6h^2)/3=336

7h^2=1008

h^2=144

h=12

a=12/3=4

b=12*2=24

4. в треуг. АВС, угол С=30(сумма углов 180), сторона ВС=СА=а, так АВС равнобедренный (угол А=В),

площадь тругольника равна 1/2 роизведению сторон на sin угла между ними.

S=1/2(ВС*СА)sinC=36

1/2(а*а)sin30=36

a^2*sin30=72

a^2*1/2=72

а^2=144

a=12