1. Даны вектора k(-4;0;-2) b(2;0;8) d(10;0;12). Разложите вектор d по векторам k b

2. Даны вектора

a(-4;0;-2) b(-2;2;-3). Будут ли коллинеарными векторы с=2а-4b и d=a-2b ?

3. Треугольник задан своими координатами N(5; 5; 5), F(1; 6; –5), С(–7; –1; –7).
Найдите:
а) периметр треугольника;
б) градусную меру меньшего угла в треугольнике.

4. Даны точки А(–4; –3; 5), В(–2; 3; –4), С(4; 10; 2).
а) найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD;
б) определите вид этого параллелограмма.
можно на листочке очень

Если провести перпендикуляры из меньшего оснавания на большее, то видно, что большее больше меньшего на 2с

Средняя линия трапеции равна (а+b)/2=(а+а+2c)=а+c

Но a+c - это катет прямоугольного треугольника, в котором диагональ - гипотенуза.

Отсюда a+c = средней линии 7 корень из 2 * cos 45 градусов 

Если провести перпендикуляры из меньшего основания на большее, то видно, что большее больше меньшего на 2с 
Средняя линия трапеции равна (a+b)/2=(a+a+2c)/2=a+c 
Но a+c- это катет прямоугольного треугольника, в котором диагональ-гипотенуза. Отсюда a+c=средней линии=10*cos 45градусов=10*(v2)/2 
Примечание: v-корень, а-меньшее основание, b-большее основаниеё

Дополнительные обозначения. N - точка пересечения высот треугольника KLM, M1 - точка пересечения продолжения стороны ML и всоты KN, K1 - точка пересечения высоты MN и продолжения стороны KL. О1 - центр описанной окружности треугольника KLM, O2 - центр окружности, проходящей через точки KNM.

Теперь решение.

У четырехугольника NM1MK1 два угла прямые, поэтому углы KNM и KLM в сумме равны 180° (угол M1LK1 вертикальный к углу KLM). Угол KNM вписан в окружность с центром в точке О2 и опирается на дугу КМ этой окружности. Угол KLM вписан в окружность с центром в точке O1 и опирается в ней на дугу КМ (большую, которая лежит снаружи окружности с центром в точке О2). Поскольку О2 лежит на окружности с центром в точке О1, то угол КО2M вписан в окружность с центром в точке О1 и опирается на ту же дугу, что и угол KLM. При этом он является в окружности с центром в точке О2 центральным углом для дуги КМ, то есть он в 2 раза больше угла KNM. 

Если обозначить угол KNM = α; то угол КО2М = 2*α = угол KLM = 180° - α; откуда α = 60°;

Угол KLM = 120°,

и - по теореме синусов, 

6 = 2*R*sin(120°); R = 2√3;

 

Ненужное следствие - радиусы окружностей равны, и центр О1 лежит на окружности с центром в точке О2.