от линзы до лампочки может измениться в пределах от 10 до 80 см, а расстояние 
от линзы до экрана - в пределах от 100 до 150 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение 
Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. ответ выразите в сантиметрах.
Из трёх задач только №617 имеет решение.
В задаче №618 угол между высотой и биссектрисой составляет 90 градусов, то есть невозможно построить третью точку.
В задаче №619 взаимное расположение заданной точки В, высоты и биссектрисы из разных вершин не даёт решения.
№617) Дана вершина А(2; -4) и уравнения биссектрис двух его углов х + у - 2 = 0 и х - 3у - 6 =0.
Находим точку пересечения биссектрис, решая систему:
{х + у - 2 = 0.
{х - 3у - 6 = 0. Вычитаем:
4у + 4 = 0, у = -4/4 = -1, х = 2 - у = 2 - (-1) = 3. Точка О(3; -1).
Через эту точку и вершину А(2; -4) проводим ещё одну биссектрису.
Вектор АО = (1; 3). Уравнение АО: (х - 2)/1 = (у + 4)/3 или в общем виде
3х - у - 10 = 0. Угловой коэффициент равен к(АО) = 3.
Из уравнений биссектрис находим их угловые коэффициенты:
к(ОД) = -1, к(ОС) = 1/3.
Находим тангенсы углов АОД и ДОС по их угловым коэффициентам.
к(АОД) = (3 - (-1))/(1 + 3*(-1)) = 4/-2 = -2.
к(ДОС) = (-1 - (1/3))/(1 + (-1)*(1/3)) = -4/2 = -2.
Как видим они равны, значит, биссектриса ОД является и высотой, а сторона АС перпендикулярна биссектрисе ОД.
Уравнение стороны АС определяем из уравнения ОД по свойству - коэффициенты при х и у меняются, один из них с другим знаком.
АС: -х + у + С = 0.Для определения слагаемого С подставим координаты точки А. -2 - 4 + С = 0. Отсюда С = 6.
Находим уравнение первой стороны:
АС: -х + у + 6 = 0 или х - у - 6 = 0.
Далее, используя значение угла между стороной и биссектрисой, находим угловые коэффициенты двух других сторон.
к(ОАС) = (3-1)/(1 + 3*1) = 2/4 = 1/2.
к(АВ) = (3 + (1/2))/91 + (1/3)*(1/2)) = -7.
Уравнение АВ: у = -7х + С. Подставляем координаты точки А.
-4 = -7*2 + С, отсюда С = -4 + 14 = 10.
Уравнение АВ: у = -7х + 10 или 7х + у - 10 = 0.
Координаты точки С находим, решая систему уравнений биссектрисы ОС и найденной стороны АС. с(
4 0).Аналогично находим уравнение ВС: к(ВС) = -1/7.
ВС: у = у = (-1/7)х + С. Точку С: 0 = (-1/7)*6 + С, отсюда С = (6/7)
Уравнение ВС: у = (-1/7)х + (6/7) или х - 7у - 6 = 0.
Даны вершины треугольника АВС: А(0;3), В(1; -4), С(5;2).
а) уравнение стороны АВ. Вектор АВ = (1-0; -4-3) = (1; -7).
Уравнение: x/1 = (y - 3)/(-7) или 7x + y - 3 = 0 в общем виде.
б) уравнение медианы АМ.
Находим координаты точки М как середины стороны ВС.
В(1; -4), С(5;2)
М = (В (1;-4) + С (5;2))/2 = (3; -1). Точка А ( 0; 3).
Вектор АМ = (3-0; -1-3) = (3; -4).
Уравнение АМ: x/3 = (y - 3)/(-4).
Или в общем виде 4x + 3y - 9 = 0.
в) длина медианы АМ.
Вектор АМ = (3-0; -1-3) = (3; -4).
Длина (модуль) |AB| = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
