. 2.1. На рисунке 8 изображены точки M, N, P, Q. Определи, пересекаются ли: а) отрезки MN и PQ; РМ и NQ; б) лучи MN и PQ; в) прямые PM и NQ. Если возможно, укажи точку пересечения. Р

Для доказательства равенства отрезков следует доказать равенство треугольников, образованных указанными отрезками, высотой равнобедренного треугольника,которая как раз соединяет вершину равнобедренного треугольника и середину основания, и сторонами равносторонних треугольников, построенных на сторонах равнобедренного треугольника.
Доказательство проводится через признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. Стороны равны по условию и построению, а углы равны по условию и по тому, что высота в равнобедренном треугольнике является также и биссектрисой.

При пересечении двух прямых появляются вертикальные углы.

Одно из свойств вертикальных углов - противоположные углы при их создании равны

Рассмотрим пример: на фото ниже мы видим вертикальные углы на практике. При создании вертикальных углов пара малого и большего угла создают развёрнутый угол в 180°.

Как мы видим, при разности углов данной пары противоположные углы равны, отсюда - равенство лишь двух углов

Рассмотрим наши требования. Если провести перпендикуляр с какой-либо точки, увидим следующее: перпендикуляр создаёт угол в 90°. Соседний прямой угол прямого угла создают в сумме 180°. Продолжая перпендикуляр по идентичной траектории, увидим, что на обратной стороне прямой будут такие же прямые углы. Следуя по таким соображениям, мы можем заметить, что все углы равны и наши условия пересечения двух прямых полностью справедливы и действительны

Что и требовалось доказать