Любые две из трех прямых, соединяющих середины отрезков AB и CD; AC и BD; AD и BC могут быть:
а) параллельны одной из этих прямых.
Через две параллельные прямые можно провести плоскость, притом только одну.
б) пересекаться:
Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, притом только одну.
В рисунке приложения даны некоторые из получающихся пар параллельных и пересекающихся прямых:
а) pd и mn как средние линии треугольников АСD и BCD параллельны AD; kp и no параллельны основанию АС треугольников АDC и АВС.
б) km и mn, mn и no пересекаются.
Из ΔАВС по теореме косинусов:
АВ² = АС²+ ВС² - 2 · АC · ВС · cos120°
AB² = a² + a² - 2a² · (- 1/2) = 3a²
AB = a√3
Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то линия их пересечения так же перпендикулярна третьей плоскости.
Плоскости DAB и DAC перпендикулярны плоскости АВС, они пересекаются по прямой DA, значит и DA⊥ABC.
Проведем АН⊥ВС. АН - проекция DH на плоскость АВС, значит и DH⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах. Тогда ∠DHA = 45° - линейный угол двугранного угла наклона грани DBC к плоскости основания.
∠АСН = 180° - 120° = 60° (смежные)
ΔАСН: ∠АНС = 90°, АН = АС · sin 60° = a√3/2
ΔDAH: ∠DAH = 90°, ∠DHA = 45°, ⇒ ∠ADH = 45°, треугольник равнобедренный, DA = AH = a√3/2.
DH = DA√2 = √2 · a√3/2 = a√6/2 как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника.
Sdac = DA · AC / 2 = (a√3/2 · a) / 2 = a²√3/4
Sdab = DA · AB / 2 = (a√3/2 · a√3) / 2 = 3a²/4
Sdbc = BC · DH / 2 = (a · a√6/2) / 2 = a²√6/4
Sбок = Sdac + Sdab + Sdbc
S бок = a²√3/4 + 3a²/4 + a²√6/4 = a²√3(1 + √3 + √2)/4
