При яких значеннях а і в вектори з координатоми (3;а;:7) та (в;27;-21)

Предположим что  m и n целые:
Имеем:
m^2-n^2=2014
(m-n)*(m+n)=2014  числа  m-n и m+n тоже целые соответственно.
Заметим  что  2014  не   кратно  4,значит  оно  не представимо  в виде  произведения  двух  четных чисел.
Число  2014  четное,тогда поскольку произведение  двух нечётныx чисел число нечётное,то  одно  из чисеп m-n и m+n четное,а  другое нет.
Сумма этих чисел:  (m-n)+(m+n)=2*m - четное  число. Но  сумма  четного  и нечетного числа  число нечетное. То  есть  мы  пришли к  противоречию.
Целых решений  нет.

1) Расположим куб в системе координат так, как показано на рисунке. Точка А - совпадаем с началом координат. Тогда координаты  вершин
А(0;0;0) ;  В(0;1:0) ;  С(1; 1; 0)  ;   D(1; 0; 0) ;  В₁(0;1;1)
Координаты точки М (1; 1/2; 1/2)
Координаты векторов
   
Скалярное произведение равно 0, значит векторы ортогональны, прямые AM и B₁D перпендикулярны
Найдем координаты середины отрезка В₁D  - точки  K

K(1/2; 1/2;1/2)
Найдем координаты середины отрезка АМ - точки Е

E=(1/2; 1/4:1/4)

ответ. 1) прямые АМ и В₁D перпендикулярны, угол между ними 90°.2) расстояние между серединами отрезков АМ и В₁D  равно

Задача 2. ( см. рис. 2)
В грани ОХZ - квадрат, все стороны которого 1. Диагональ квадрата ОВ имеет длину √2 и легко находится по теореме Пифагора 1²+1²=2²
В прямоугольном треугольнике АВО  угол АВО равен 30°, угол АОВ равен 90°, так как ось оу перпендикулярна плоскости ОХZ.
В прямоугольном треугольнике против угла в 30° катет в два раза меньше гипотенузы. Пусть ОА=y, тогда АВ=2y
По теореме Пифагора АВ²=АО²+ВО²
(2y)²=y²+(√2)²  ⇒  3y²=2    ⇒
ответ.

Задача 3.
Так как векторы а и b коллинеарны, то их координаты пропорциональны.
Вектор a  имеет координаты (6k; 8k;-7,5k), где k- коэффициента пропорциональности
Так как угол между векторами a   и j  -  тупой, значит их скалярное произведение отрицательно.
Координаты вектора j  - (0;1:0)
Найдем скалярное произведение

Так как k<0, то к=-2
ответ. Вектор a    имеет координаты (6·(-2); 8·(-2);-7,5·(-2)=(-12; -16; 15)