) Дана: пирамида А1А2А3А4
А1(1;2;-3), А2(1;0;1), А3(-2;-1;6)
А4(0;-5;-4)
Найти:
1) длину ребра А1А2
2) угол между рёбрами А1А2 и А1А4
3) угол между ребром А1А4 и плоскостью А1А2А3
4) объём пирамиды

должно быть в ответе опечатка, ответ получается

Объяснение:

1) Поскольку сторона СВ=АВ, то достроим ΔABM так чтобы он был равен ΔCNB.  ΔMNB  получился равнобедренный.

2) ∠ABC  = 60 по условию, но тогда  ∠NBM тоже = 60, тогда на два оставшихся угла приходится 180-60=120, а поскольку Δ равнобедренный, то 120:2=60, т/е Δ получается равносторонний. т.е ∠NMB=60

3) теперь рассмотрим ΔANM - мы знаем все его стороны, значит по теореме косинусов сможем найти и углы

AN²=AM²+NM²-2AM×NM×cosAMN

25=16+9-2×4×3×cosAMN

0=24×cosAMN ⇒  cosAMN=0⇒∠AMN=90°

4) ∠AMN=90°  + ∠NMB=60 ⇒ ∠ AMB = 150°

5) по той же теореме косинусов сможем найти сторону AB в ΔАВМ, тогда и задача будет решена

АВ²=16+9-2×4×3×cos150°

как же найти cos150°? в таблице значения только до 90°. Здесь нам формулы приведения. cos150°  = сos (π/2+60)=sin 60°=√3/2

АВ²=16+9-2×4×3×√3/2

АВ=√(25-24×√3/2)

АВ=√(25-12√3)

1)  Если в треугольнике биссектриса ВК является ещё и высотой, то этот треугольник равнобедренный и  АВ=ВС.
Р(АВК)=16  , Р(ВКС)= Р(АВК) , так как ΔАВК=ΔВКС по двум сторонам и углу между ними (АВ=ВС , ВК - общая , ∠АВК=∠СВК)
Р(АВС)=Р(АВК)+Р(ВСК)-2*ВК=2*Р(АВК)-2*5=2*16-10=22

2)  ΔDEF:  ДК - биссектриса  ⇒  ∠КDЕ=∠КDF=68°:2=34°
  ∠F=180°-(∠EDF+∠DEF)=180°-(68°+44°)=68°
ΔDKF:  ∠DKF=180°-(∠KDF+∠DFK)=180°-(34°+68°)=78°

3)  Точки, лежащие на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалены от концов этого отрезка  ⇒  DC=DB=4 см.
АВ=AD+DB=AD+4  ⇒  AD=AB-4=7-4=3 (см) .